• Registro
Foro de preguntas y respuestas de matemáticas, de cualquier nivel. Cuánto más interesantes, divertidas o intrépidas, mejor.
Aviso: Te invitamos a conocer la página de Facebook de la UCIM

Ganas puntos al hacer preguntas, contestarlas y, sobre todo, si tu respuesta es seleccionada como la mejor.
Registrate como usuario para participar en el foro. También puedes utilizar tu identidad de FB Utiliza el botón azul para ingresar (si usas tu identidad de FB y estás logeado en FB, automáticamente te reconoce).

El irracional tiene una página en FB. El Irracional






Teorema del valor medio

+1 voto
Usa el teorema del valor medio para probar que: x+1 <e^x<2x+1 si 0<x<=log2
preguntado por Math92 (210 puntos) Mar 20, 2017 en Básicas

1 Respuesta

+1 voto
Sea $x \in (0, \log 2]$. Para establecer la desigualdad de la derecha, considera la función $F \colon [0,x] \to \mathbb{R}$ definida por $F(u)=e^{u}-2u-1$. $F$ es continua en $[0,x]$ y derivable en $(0,x)$. Del teorema del valor medio se sigue que

$$ F(x) - F(0) = xF^{\prime}(c)$$

para algún $c \in (0,\log 2)$. Como $F(0)=0$ y $F^{\prime}(c)=e^{c}-2<0$, entonces

$$ e^{x}-2x-1 = x F^{\prime}(c)< 0$$

y la prueba termina.

Para establecer la otra desigualdad procedes de manera análoga.
respondido por José Hdz (39,490 puntos) Mar 20, 2017
Licencia Creative Commons
Este obra está bajo una Licencia Creative Commons Atribución-NoComercial-CompartirIgual 2.5 México.

powered by UCIM

...