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Un entero como suma de cuadrados.

+4 votos
Suponga que $m = 2^a p_{1}^{a_1} \cdots p_{k}^{a_k}$ es la descomposición en primos de $m$. Considere la siguiente pregunta: ¿cuándo es posible escribir a $m$ como $b^2 + c^2$ con $b$ y $c$ enteros?. Sé que esta pregunta se trata en varios lugares, en particular el libro de L.K. Hua et. al., "An introduction to number theory" da una condición necesaria en la página 117: $a = 0,1$ y $p_i \equiv 1 \pmod{4}$. ¿Se sabe algo de la suficiencia de esta condición?

Puntualmente, si $b$,$c$ son primos relativos y ¿Será cierto que en la descomposición de $m=b^2 + c^2$ como producto de primos, usando la notación de arriba, se satisface que $p_i \equiv 1 \pmod{4}$? (la otra parte no es nada difícil de ver y se sigue de que $(b,c)=1$).
preguntado por Antonio Montero (1,910 puntos) Jun 1 en Preguntas

1 Respuesta

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Mejor respuesta

Hola Tero:

La respuesta a tu pregunta es SÍ. La dem. va así:

Si $q$ es un primo congruente con $3$ módulo $4$ que divide a $m$ y $m=b^{2}+c^{2}$ (donde $b$ y $c$ son enteros coprimos), entonces $c^{2} \equiv -b^{2} \pmod{q}$. De esto y de la coprimalidad de $b$ y $c$ se sigue que $q \nmid b$; por lo tanto, existe $u \in \mathbb{Z}$ tal que $ub \equiv 1 \pmod{q}$. De las dos congruencias anteriores se infiere fácilmente que

$$(uc)^{2} \equiv -1 \pmod{q},$$

lo cual entra en contradicción con el hecho de que $-1$ es un resto no cuadrático módulo cualquier primo que es congruente con $3$ módulo $4$ (lo cual puedes probar sin mucha dificultad mediante el pequeño teo. de Fermat , o apelando a un teo. de Euler que te enseñan luego luego de que te empiezan a hablar del símbolo de Legendre, etc.).

Por otra parte, el resultado básico sobre la representación de números naturales mediante sumas de cuadrados es el siguiente:

Un núm. natural $n$ se puede escribir como la suma de dos cuadrados perfectos si y sólo si en su descomposición canónica sus divisores primos que son congruentes con $3$ módulo $4$ aparecen con exponente par.

(La dem. es muy simple: puesto que el producto de dos números que son sumas de dos cuadrados perfectos es otro núm. de esa forma y que todo primo congruente con $1$ módulo $4$ se puede expresar como una suma de dos cuadrados perfectos, tienes en automático una parte de la dem.; para la otra parte, en algún momento vas a repetir el argumento con el que respondí a la pregunta "puntual" que planteaste.)

Obviamente, la historia no queda ahí. Hay también un resultado de Jacobi que dice de cuántas maneras se puede poner cada núm. natural como suma de dos cuadrados, después vas a querer buscar resultados análogos para sumas de más cuadrados o potencias mayores, etc., etc.

Cordialmente,

José Hdz (por alguna extraña razón, esta cosa no está reconociendo mi cuenta de FB)

P.S. "Number theorists are like lotus-eaters: having once tasted this food they can never give it up."

respondido por Baúl de Problemas (2,280 puntos) Jun 4
seleccionada por Antonio Montero Jun 5
¡Muchas gracias, José! Te luciste con tu respuesta. Estoy trabajando con mapas de cuadrados en el toro, que al final son cocientes del plano por retículas de enteros. Por esta razón, bien seguido me encuentro haciendo cosas (la mayoría de las veces elementales) de teoría de números. Esto último es una desgracia dada mi incompetencia en la materia. De cualquier manera, parece que por más que intento darle la vuelta, constantemente me encuentro en esta situación (ya Daniel se burla de mí al respecto). Saludos!
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