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Hallar método

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sea

k1 log(2) + k2 log(3) + k3 log (5) +k4 log(7) + k5 log(11)  =  log(70)

Hallar un mètodo para obtener la soluciòn unica de esta ecuacion  siendo que el vector solucion es binario ( k1, k2,k3, k4, k5) =( 1,0,1,1)
preguntado por Volney (80 puntos) Sep 21 en Problemas

1 Respuesta

+1 voto
Sólo tienes que utilizar las propiedades básicas de los logaritmos:
\begin{eqnarray*}
k_{1} \log 2 + k_{2} \log 3 + k_{3} \log 5 + k_4 \log 7 + k_{5} \log 11 &=& \log 2^{k_{1}} + \log 3^{k_{2}} + \log 5^{k_{3}}\\ &+& \log 7^{k_{4}} + \log 11^{k_{5}}\\ &=& \log \left(2^{k_{1}} \cdot 3^{k_{2}} \cdot 5^{k_{3}} \cdot 7^{k_{4}} \cdot 11^{k_{5}}\right)
\end{eqnarray*} De esto, de la inyectividad de la función $\log \colon (0,\infty) \to \mathbb{R}$, del hecho que $70 = 2 \cdot 5 \cdot 7$ y de la unicidad de la descomposición de los núm. naturales en productos de potencias de primos se desprende que
$$ k_1 = 1, k_{2}=0, k_{3} = 1, k_{4}=1, k_{5}=0.$$
respondido por José Hdz (38,440 puntos) Sep 21
Agradezco su disposición y totalmente válida la solución que propuso pero, olvide comentar que lo que busco es un mètodo de factorización alternativo para números compuestos con primos solo de potencia uno o cero ( binario)  en este caso del vector solución sería justamente la factorización si usar el algoritmo de euclides
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