• Registro
Foro de preguntas y respuestas de matemáticas, de cualquier nivel. Cuánto más interesantes, divertidas o intrépidas, mejor.
Aviso: Te invitamos a conocer la página de Facebook de la UCIM

Ganas puntos al hacer preguntas, contestarlas y, sobre todo, si tu respuesta es seleccionada como la mejor.
Registrate como usuario para participar en el foro. También puedes utilizar tu identidad de FB Utiliza el botón azul para ingresar (si usas tu identidad de FB y estás logeado en FB, automáticamente te reconoce).

El irracional tiene una página en FB. El Irracional






Continuidad de y=1/x en (0,1)

0 votos
Cómo se demuestra por la definición que $f(x)=\frac{1}{x}$ es continua en $(0,\infty)$.
Sólo he llegado a:
Sean $\varepsilon >0$ y $\delta = $¿?, si $0<|x-y|<\delta$ entonces $|\frac{1}{x}-\frac{1}{y}| = |\frac{y-x}{xy}|=\frac{|y-x|}{|xy|}$, pero de ahí no sé cómo probar que eso es menor que $\varepsilon$ si $x,y \in (0,1)$
preguntado por Fernando Reséndiz (70 puntos) Oct 5 en Avanzadas
editado por Fernando Reséndiz Oct 5

2 Respuestas

0 votos

Hola, supongo que llevas un primer curso de cálculo.
Mi recomendación es, habla con tu profesor, usualmente están en la mejor disposición de ayudar, para eso están, mejor ir a que te resuelva la duda desde ahora a que no entiendas y trates de encontrar la solución por internet donde te será más difícil comprender las cosas, simplemente porque siempre es mejor que te lo explique una persona frente a frente y que pueda resolverte cualquier duda por más mínima que sea.
 

De igual forma checa cualquier libro de Cálculo, a mi me gustó usar el de Bartle "Introducción al Análisis Matemático".
 

Sólo por si acaso ahí te va el hint:


δ = ε|xy|

respondido por Deathleb (110 puntos) Oct 9
mostrada de nuevo por Deathleb hace 5 días
No puedes escoger el $\delta$ en función de $y$ y $x$ simultáneamente: quieres mostrar que la función $1/t$ es continua en $x,$ donde $x>0$ es arbitrario; para ello, dado un $\varepsilon>0$ arbitrario, muestras que, EXISTE UN $\delta>0$ tal que, si $y>0$ es tal que $y$ dista de $x$ en menos que $\delta$ (i.e. $|y-x|<\delta$) entonces $1/x$ y $1/y$ distan en menos que $\varepsilon.$
0 votos
Sea $x>0$ y sea $\varepsilon$ un real positivo arbitrario, y escójase $0<\delta\leqslant\min\left\{\frac{|x|}{2},\;\frac{\varepsilon|x|^2}{2}\right\}.$ Luego, se tiene que, si $y>0$ es tal que $|x-y|<\delta,$ entonces

$$

\begin{aligned}

\left|\dfrac{1}{x}-\dfrac{1}{y}\right|&=\dfrac{|x-y|}{|x||y|}

\\\\&<\dfrac{\delta}{|x||y|}

\\\\&<\dfrac{\delta}{|x|(|x|-\delta)}

\\\\&\leqslant\dfrac{2\delta}{|x|^2}

\\\\&\leqslant\varepsilon,

\end{aligned}

$$

por lo que la función $1/t$ es continua en $x,$ y como $x>0$ es arbitrario, se sigue que la función $1/t$ es continua en $(0,\infty).$
respondido por Carlos Jalpa (10,740 puntos) hace 5 días
Licencia Creative Commons
Este obra está bajo una Licencia Creative Commons Atribución-NoComercial-CompartirIgual 2.5 México.

powered by UCIM

...