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Continuidad de y=1/x en (0,1)

–1 voto
Cómo se demuestra por la definición que $f(x)=\frac{1}{x}$ es continua en $(0,\infty)$.
Sólo he llegado a:
Sean $\varepsilon >0$ y $\delta = $¿?, si $0<|x-y|<\delta$ entonces $|\frac{1}{x}-\frac{1}{y}| = |\frac{y-x}{xy}|=\frac{|y-x|}{|xy|}$, pero de ahí no sé cómo probar que eso es menor que $\varepsilon$ si $x,y \in (0,1)$
preguntado por Fernando Reséndiz (60 puntos) Oct 5 en Avanzadas
editado por Fernando Reséndiz Oct 5
Como un comentario adicional,si $x,y\in (1,\infty)$, la demostración es muy sencilla.
ya que para cualquier $\varepsilon>0$, tomamos $\delta=\varepsilon$, y si $0<|x-y|<\delta$, se tiene que  $|\fracc{1}{x}-\fracc{1}{y}|=|\fracc{y-x}{xy}|=\fracc{|y-x|}{|xy|}$ de donde $|xy|>1$ ya que $x>1$ y $y>1$, por lo tanto  $\fracc{|y-x|}{|xy|}<|y-x|=|x-y|$ que por hipótesis es menor que $\delta$ que a su vez es menor que $\varepsilon$

2 Respuestas

0 votos

Hola, supongo que llevas un primer curso de cálculo.
Mi recomendación es, habla con tu profesor, usualmente están en la mejor disposición de ayudar, para eso están, mejor ir a que te resuelva la duda desde ahora a que no entiendas y trates de encontrar la solución por internet donde te será más difícil comprender las cosas, simplemente porque siempre es mejor que te lo explique una persona frente a frente y que pueda resolverte cualquier duda por más mínima que sea.
 

De igual forma checa cualquier libro de Cálculo, a mi me gustó usar el de Bartle "Introducción al Análisis Matemático".
 

Sólo por si acaso ahí te va el hint:


δ = ε|xy|

respondido por Deathleb (110 puntos) Oct 9
mostrada de nuevo por Deathleb Oct 16
No puedes escoger el $\delta$ en función de $y$ y $x$ simultáneamente: quieres mostrar que la función $1/t$ es continua en $x,$ donde $x>0$ es arbitrario; para ello, dado un $\varepsilon>0$ arbitrario, muestras que, EXISTE UN $\delta>0$ tal que, si $y>0$ es tal que $y$ dista de $x$ en menos que $\delta$ (i.e. $|y-x|<\delta$) entonces $1/x$ y $1/y$ distan en menos que $\varepsilon.$
0 votos
Sea $x>0$ y sea $\varepsilon$ un real positivo arbitrario, y escójase $0<\delta\leqslant\min\left\{\frac{|x|}{2},\;\frac{\varepsilon|x|^2}{2}\right\}.$ Luego, se tiene que, si $y>0$ es tal que $|x-y|<\delta,$ entonces

$$

\begin{aligned}

\left|\dfrac{1}{x}-\dfrac{1}{y}\right|&=\dfrac{|x-y|}{|x||y|}

\\\\&<\dfrac{\delta}{|x||y|}

\\\\&<\dfrac{\delta}{|x|(|x|-\delta)}

\\\\&\leqslant\dfrac{2\delta}{|x|^2}

\\\\&\leqslant\varepsilon,

\end{aligned}

$$

por lo que la función $1/t$ es continua en $x,$ y como $x>0$ es arbitrario, se sigue que la función $1/t$ es continua en $(0,\infty).$
respondido por Carlos Jalpa (10,750 puntos) Oct 16
mostrada de nuevo por Carlos Jalpa Nov 8
De hecho, $\delta$ no puede quedar en términos de $x$, más bien la $\delta$ depende de la $\varepsilon$, formalmente, algunos autores escriben en su notación $\delta_{(\varepsilon)}$ para hacer notar que dada una $\varepsilon>0$ existe $\delta_{(\varepsilon)}>0$ tal que...
Así que seguimos en la misma, pero muchas gracias por el intento.
sí se puede amigo: deseas mostrar que la función antes mencionada es continua en los reales positivos, para ello, se puede mostrar que es continua en CADA real positivo, i.e. agarrar un real positivo arbitrario y mostrar que es continua en él...eso es lo que hago en mi respuesta, donde me salto algunos detalles, como el uso de la desigualdad del triángulo.

Con respecto a tu soberbia sin fundamentos (no tienes razón alguna para contestar con soberbia, pues me corriges en algo que no estoy equivocado), cámbiala, no es buena.
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