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Demostración del recíproco del teorema de Runge

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Necesito demostrar el recíproco del teorema de Runge. (Análisis de funciones de variable compleja)

Este dice lo siguiente: Sea K un compacto de C (los números complejos) cuyo complementario (C\K) no es conexo. Entonces, existe una función holomorfa en un entorno de K que no puede ser aproximada uniformemente en K por polinomios.

Me dan la siguiente indicación para demostrarlo: Sea z_0 un elemento de C\K y definamos f(z) = 1/(z - z_0). Suponiendo que f pueda ser aproximada uniformemente en K por polinomios, comprobar que existe un polinomio p tal que |(z - z_0)p(z) - 1| < 1 y usar el problema 12 de la Hoja 4 para demostrar que esta desigualdad sigue valiendo en la componente conexa de C\K que contiene a z_0.

El problema 4 de la Hoja 12 dice lo siguiente: Existe una función entera F con la siguiente propiedad: dada cualquier otra función entera h, existe una sucesión creciente (n_k) de números naturales tales que:

 el limite cuando k tiende a infinito de F(z + n_k) = h(z) 

uniformemente en cada subconjunto compacto de C.

Espero que me podais ayudar. Gracias :)

preguntado por Majo Belda Beneyto (80 puntos) Nov 29 en Torito
editado por Majo Belda Beneyto Nov 29
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