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¿Existen primos con "Mersennidad" arbitrariamente pequeña?

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Ahora que encontraron otro primo de Mersenne me surgió esta duda que no tengo idea qué tan resuelta esté.

Los primos de Mersenne pueden definirse como aquellos primos donde todos los dígitos en su expresión binaria son 1. Podríamos entonces definir la "Mersennidad" de un número como la cantidad de unos en su expresión binaria dividida entre la cantidad total de dígitos. Todo número tiene al menos un 1 al principio, por lo que la Mersennidad nunca puede ser 0. La primos de Mersenne y, en general, los números de la forma $2^k-1$ tienen Mersennidad 1.

La pregunta es: dado  $\varepsilon>0$ ¿existe un primo con Mersennidad menor que $\varepsilon $?

Si hubiera infinitos primos de Fermat sería obvio que sí, pero ese parece ser un problema muy difícil. ¿Es este problema igual de difícil?
preguntado por EliasMochan (7,760 puntos) Ene 4 en Preguntas
editado por EliasMochan Ene 4
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