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¿Es la función modular integrable?

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Considera un grupo topológico localmente compacto1 (también metrizable y separable si es que hiciera falta), denótalo por $\mathrm{G}.$ Ante estas condiciones existe la función modular $\Delta:\mathrm{G} \to \mathbf{R}_+^*.$ Es decir, la función modular es el único homomorfismo continuo tal que para cada medida de Haar $\beta$ en $\mathrm{G}$ y cada traslación a derecha $\delta(x)$ ($\delta(x)(s) = xs^{-1}$) la medida imagen $\delta(s) \beta$ de $\beta$ por $\delta(s)$ coincide con $\Delta(s) \beta.$

¿Es $\Delta$ una función integrable respecto a cualquier medida de probabilidad?


  1. Compacto significa que satisface el «axioma de Borel-Lebesgue» (cada cubierta abierta tiene una subfamilia finita que sigue siendo cubierta abierta) y el «axioma de Hausdorff» (el conjunto diagonal en el espacio producto es un subconjunto cerrado de este, equivalentemente, cada dos puntos distintos del espacio tienen sendas vecindades abiertas ajenas).
preguntado por Guillermo Martinez (2,180 puntos) Mar 4 en Avanzadas

1 Respuesta

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No en general. Pues existen grupos $\mathrm{G}$ tales que $\Delta(\mathrm{G}) = (0, \infty)$ y, por tanto, uno puede considerar elementos distintos $(g_n)$ en $\mathrm{G}$ de modo que $\Delta(g_n) \geq 2^n$ y definir $\mu = \sum \dfrac{\varepsilon_{g_n}}{2^n},$ en donde $\varepsilon_x$ denota la medida positiva de masa total 1 en $x \in \mathrm{G}.$ Que triste verdad.
respondido por Guillermo Martinez (2,180 puntos) Mar 5
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