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Trascendencia de suma y de producto

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Demuestre que al menos uno de los números del conjunto $\{\pi e, \pi+e\}$ es trascendente.

Una pregunta bastante sui géneris (y no demasiado difícil). Ojalá que sea de su agrado.

preguntado por José Hdz (39,230 puntos) Mar 21 en Básicas
reetiquetada por José Hdz Mar 21

1 Respuesta

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Supongamos por contradicción que ambos son algebraicos. Notemos que tenemos la simple identidad

$$ e² + \pi e = e(\pi + e)$$

$$ e²  - (\pi + e) e + \pi e = 0$$

es decir, $e$ es solución de una ecuación polinomial a coeficientes algebraicos y por lo tanto es algebraico lo que es una contradicción.

p.s. por la simetria del problema, naturalmente se puede hacer lo mismo usando la trascendencia de $\pi$, pero elejí $e$ puesto que es bastante más fácil demostrar su trascendencia.
respondido por lang (1,240 puntos) May 21
editado por lang Jun 20
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