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El irracional tiene una página en FB. El Irracional






¿La trascendencia de una sucesión de dígitos es independiente de la base?

+5 votos
Sean $a$ y $b$ naturales mayores que 1. Sea $x$ trascendente. Supongamos que la expresión de $x$ en base $a$ no tiene dígitos mayores que $b-1$. Sea $y$ el número que tiene la misma expresión en base $b$ que $x$ en base $a$.

¿Podemos asegurar que $y$ es trascendente?
preguntado por EliasMochan (7,980 puntos) Sep 25, 2018 en Preguntas

1 Respuesta

+2 votos
 
Mejor respuesta

Se me hace que esto ha de ser muy difícil, pero que la respuesta es que probablemente no.

Parece que hay bastante gente que cree la siguiente conjetura:

Cualquier número algebraico irracional es normal en cualquier base.

Supongamos de momento la siguiente conjetura mucho más débil:

La expansión en base B de un número algebraico irracional usa todos los dígitos del 0 al B-1.

Ahora toma $b=10$ y considera $y=\sqrt{2}$ (o cualquier otro algebraico irracional y cualquier base $b$, si la conjetura de arriba es válida). Escoge cualquier $a>b$ (y, desde luego, define $x$ como el número cuya expansión en base $a$ es la de $y$ en base $b$). Claramente $x$ es irracional, porque su expansión en base $a$ no es eventualmente periodica. Y como $x$ no usa todos los dígitos en base $a$, si la conjetura es cierta, $x$ debe ser trascendente.

respondido por Omar Antolín (33,060 puntos) May 27
seleccionada por EliasMochan Jun 17
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