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Medidas atómicas y puntos extremos

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Sea $(X,d)$ un espacio métrico compacto. Sea ${\mathcal M}(X)$ el conjunto de medidas

de probabilidad Borelianas de $X$ con la topología débil* i.e.,  la sucesión $\mu_n$ ($n=1, 2, \dots$) converge a $\mu$

si $\mu_n(f)$  converge a $\mu(f)$ cuando $n\to\infty$ para toda $f:X\to\mathbb R$ continua. Entonces

${\mathcal M}(X)\subset{C^0(X)}^*$ (${C^0(X)}^*$ es el dual del espacio del espacio de Banach $C^0(X)$ de funciones

continuas con valores reales). Por el

teorema de representación de Riesz  (http://www.encyclopediaofmath.org/index.php/Riesz_representation_theorem) (http://en.wikipedia.org/wiki/Riesz_representation_theorem).

Se tiene que ${\mathcal M}(X)$ es un convexo compacto respecto a la topología débil* descrita antes mediante sucesiones.

Para cada $x\in{X}$ sea $\delta_x$ la delta de Dirac en $x$, es decir la medida de probabilidad atómica

$\delta_x(f)=f(x)$

 Demuestre que el conjunto $\mathcal A:=\{\delta_x\,\,|\,\,x\in{X}\}$ es el conjunto de puntos extremos de ${\mathcal M}(X)$

y por lo tanto por el Teorema de Krein-Milman (http://en.wikipedia.org/wiki/Krein%E2%80%93Milman_theorem)

de ${\mathcal M}(X)$ es la envoltura cerrada convexa de $\mathcal A$.

Luego toda medida de probabilidad es límite debil de medidas atómicas concentradas en un número finito de átomos

$\sum_{i=i}^k{a_i\delta_{x_i}}$ con $\sum_{i=i}^k{a_i}=1$ y $a_i\geq0$.

¡A veces es mejor pensar de esta manera una medida aunque sea singular y "terrible"!
preguntado por Alberto Verjovsky (970 puntos) Ago 24, 2013 en Análisis real
editado por Alberto Verjovsky Ago 24, 2013
Solo para complementar, agregaria que la compacidad se tiene por el Teorema de Banach-Alaoglu.

1 Respuesta

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Mejor respuesta

Veamos primero que $\delta_x$ es punto extremo. Supongamos que $\delta_x = \alpha \mu_1 + \beta \mu_2$ con $\alpha + \beta = 1$. Entonces tenemos en particular que

$

0 = \alpha \int_{X-\{x\}} f d \mu_1 + \beta \int _{X-\{x\}} f d\mu_2

$

para cualquier función $f: X \longrightarrow \mathbb{R}$. Considerando una funcion estrictamente positiva $f$ obtenemos que ambas integrales en la expresion anterior tienen que ser $0$. Por lo que $\mu_i (X-\{x\})=0$. Lo que implica que $\mu_i = \delta_x$.

Sea $\mu$ una medida de probabilidad de Borel en $X$ distinta a cualquier delta de Dirac. Entonces el soporte de $\mu$ tiene al menos dos puntos $x,y$. Definamos una nueva medida $\mu$ dada por $\mu' (A) = \mu( A \cap (X-\{x\}))$.  Consideremos $\mu_1 = \frac{\mu'}{1 - \mu(x)}$, la cual es una medida de probabilidad de Borel. Observemos que esta nueva medida no es identicamente cero porque $\mu_1 (\{y\})>0$. Finalmente observemos que

$

\mu = (1-\mu(x)) \mu_1 + \mu(x) \delta_x.

$

Por lo que $\mu$ no es un punto extremo.

respondido por UsuarioX (2,970 puntos) Ago 24, 2013
seleccionada por Alberto Verjovsky Ago 24, 2013
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