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Desigualdades para combinaciones enteras implican desigualdad para el producto

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Dados dos números reales positivos $a$ y $b$, sea $N(a,b)$ la sucesión obtenida de listar todos los números de la forma $am+bn$ con $m$ y $n$ enteros no negativos en orden creciente, incluyendo las repeticiones que pudiera haber. Por ejemplo, $N(1,4) = 1, 2, 3, 4, 4, 5, 5, 6, 6, 7, 7, 8, 8, 8, 9, \ldots$. Aquí $5$ aparece dos veces porque se puede escribir como $m+4n$ de dos formas distintas: $(m,n) = (5,0)$ y $(m,n) = (1,1)$. El $8$ aparece tres veces porque $m+4n=8$ para $(m,n) = (8,0), (4,1)$ y $(0,2)$. Escribiremos $N_n(a,b)$ para el $n$-ésimo número de la sucesión $N(a,b)$.

Torito. Probar que si 4 números positivos $a,b,c,d$ son tales que para todo $n$, $N_n(a,b) \le N_n(c,d)$, entonces necesariamente $ab \le cd$.

Sé que eso es cierto porque oí en una plática sobre geometría simpléctica el siguiente teorema:

Teorema. Sean $a,b,c,d$ números positivos. Entonces son equivalentes:

  1. Que para toda $n$, $N_n(a,b) \le N_n(c,d)$.
  2. Que exista un encaje simpléctico de $E(a,b)$ en $E(c,d)$, donde $E(a,b)$ es el elipsoide $\{ (w,z) \in \mathbb{C}^2 : \frac{|w|^2}{a}+ \frac{|z|^2}{b} \le 1 \}$.

Creo que $2 \Rightarrow 1$ lo probó Michael Hutchings (bueno, más bien es consecuencia de un teorema más general de Hutchings) y $1 \Rightarrow 2$ lo probó Dusa McDuff.

Este teorema resuelve el torito, porque si existe un encaje simpléctico $E(a,b) \hookrightarrow E(c,d)$, entonces el volumen de $E(a,b)$ debe ser menor o igual que el volumen de $E(c,d)$, lo cual da la desigualdad $ab\le cd$. Lo que de hecho propongo como torito es dar una prueba elemental del resultado, que seguramente también existe.

preguntado por Omar Antolín (32,590 puntos) Sep 2, 2013 en Básicas
Para los que puedan estar interesados, en este link http://www.cornell.edu/video/dusa-mcduff-symplectic-geometry  se puede ver una platica en la que Dusa McDuff habla sobre encajes simplecticos y, en particular, el Teorema que menciona Omar Antolín.

1 Respuesta

+1 voto
Gracias a José Hdz por recordarme este torito.

Supongamos que $N_n(a,b) \le N_n(c,d)$ para toda $n$. Entonces también tenemos que para cualquier $N$ la cardinalidad de $\{n : N_n(c,d) \le N\}$ es menor o igual que la de $\{n : N_n(a,b) \le N\}$. Esas cardinalidades las podemos pensar más geométricamente como el número $P_N(a,b)$ de puntos de coordenadas enteras en el triángulo $\{(x,y) \in \mathbb{R}^2 : x,y \ge 0, ax+by \le N\}$. De modo que la suposición que hicimos implica que $P_N(c,d) \le P_N(a,b)$ para toda $N$.

Dividiendo ambos lados de la desigualdad $ax+by \le N$ por $N$, podemos reexpresar $P_N(a,b)$ ese número como el número de puntos de coordenadas racionales con denominador $N$ en el triángulo $T(a,b) = \{(x,y) : x,y \ge 0, ax+by \le 1\}$.

Asociamos a cada uno de esos $P_N(a,b)$ puntos $(x,y)$ el cuadrito $[x,x+1/N] \times [y,y+1/N]$. La unión de esos cuadritos es una "aproximación pixelada" a $T(a,b)$. La aproximación pixelada tiene área $P_N(a,b)/N^2$ y cuando $N \to \infty$ esto debe tender al área de $T(a,b)$ que es $1/(2ab)$. Como $P_N(c,d) \le P_N(a,b)$ para toda $N$, concluímos que $1/(2cd) \le 1/(2ab)$, es decir, que $ab \le cd$.
respondido por Omar Antolín (32,590 puntos) Dic 6
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