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Otro sistemita angel. Si gustan de la operatividad, pues que pasen un buen momento.


Resolver en "x", "y":
__________________________________________________________

(a-b)³x - (a+b)³y = -2b³(3a+b)

(a²-ab+b²)x - (a²-b²)³(a+b)(a³-b³)y = 3a²b²(2a-a²b²+2b⁴)(a²-ab+b²)³(a²+ab+b²)

por (21,5m puntos) en Torito
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1 Respuesta

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Mejor respuesta
La siguiente solución es cierta para los reales.

Si suponemos $b=0$, entonces las ecuaciones se reducen a $a^3x=a^3y$ y $a^{10}x=a^{10}y$ (las cuales son equivalentes). De las cuales se deduce fácilmente que: si $a^3=0$, entonces $x$ y $y$ pueden obtener cualquier valor, en otro caso $x=y$ (cualquier valor real) es la solución.

De aquí en adelante asumiremos que $b\not=0$. Ahora bien, si $a+b=0$, $y$ puede obtener cualquier valor mientras que las ecuaciones se reducen a $a^3x=a^9$ y $(3a^2)^5x=(3a^2)^5(a^2)$. Como $a\not=0$, por un lado $x=a^6$ y por otro $x=a^2$ lo cual es posible si y sólo si $a^4=1$.

Asumiendo que $a+b\not=0$, de la primera ecuación se observa que

$(a+b)^3y=(a-b)^3x+2b^3(3a^6+b^6)$.

Como $ (a^2-b^2)^3=(a+b)^3(a-b)^3 $ de la segunda ecuación obtenemos

$((a^2-ab+b^2)^5-(a-b)^6(a+b)(a^3-b^3))x=$

$3a^2b^2(2a^4-a^2b^b+2b^4)(a^2-ab+b^b)^3(a^2+ab+b^2)+$

$+(a-b)^3(a+b)(a^3-b^3)(2b^3)(3a^6+b^6)$.

Con mi programa de matemáticas favorito (wxMaxima) expandimos, factorizamos obteniendo lo siguiente:

$b^2Fx=b^2F(a^2+ab+b^2)^3$ donde $F=2b^8-10ab^7+24a^2b^6-36a^3b^5+45a^4b^4-51a^5b^3+45a^6b^2-24a^7b+6a^8$. Dada nuestra hipótesis, $Fx=F(a^2+ab+b^2)^3$.

Supongamos $F\not=0$, entonces $x=(a^2+ab+b^2)^3$. Al sustituir $x$ en la primera ecuación obtenemos $(a+b)^3y=(a+b)^3(a^2-ab+b^2)^3$. Como $(a+b)^3\not=0$, entonces $y=(a^2-ab+b^2)^3$.

Sólo resta ver el caso $F=0$. De aquí se deduce que

$(a^2-ab+b^2)^5=(a-b)^6(a+b)(a^3-b^3)$ y

$3a^2(2a^4-a^2b^2+2b^4)(a^2-ab+b^2)^3(a^2+ab+b^2)=$

$-2b(3a^6+b^6)(a-b)^3(a+b)(a^3-b^3)$.

Luego la segunda ecuación se obtiene al multiplicar la primera por $(a-b)^3(a+b)(a^3)(a^3-b^3)$.

Luego entonces $y=((a-b)^3x+2b^3(3b^6+b^6))/(a+b)^3$ es la solución.
por (6,2m puntos)
seleccionada por
Una pregunta interesante es ver qué sucede cuando se considera el sistema para cualquier campo... anilllo conmutativo con división... anillo con división...
Saludos, Chris! Gracias por darse el tiempo en este pequeña práctica de operatividad algebraica.

Solo observar esta conclusión... $F \neq 0: x=y=(a^2+ab+b^2)^3$, allí observo un error de signo en el término mixto $ab$ para $'y'$.
Corregido. Gracias.
Ok. ¡Felicidades, Chris!
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