Foro de preguntas y respuestas de matemáticas, de cualquier nivel. Cuánto más interesantes, divertidas o intrépidas, mejor.
Aviso: Te invitamos a conocer la página de Facebook de la UCIM

Ganas puntos al hacer preguntas, contestarlas y, sobre todo, si tu respuesta es seleccionada como la mejor.
Registrate como usuario para participar en el foro. También puedes utilizar tu identidad de FB Utiliza el botón azul para ingresar (si usas tu identidad de FB y estás logeado en FB, automáticamente te reconoce).

El irracional tiene una página en FB. El Irracional






+2 votos

➜ Resuelve —en ℝ— la ecuación mostrada en la figura:

 

por (21,4m puntos) en Problemas
recategorizada por

1 Respuesta

+3 votos
 
Mejor respuesta
Si hacemos $a=x^{2x}$ y $b=x^{\frac{2}{x}}$ entonces la ecuación se puede reescribir como

$ab + 1 = 2a + \frac{b}{2}$

o bien como

$(2a-1)(b-2)=0.$

Por lo tanto $x^{2x} =  \frac{1}{2}$ o $x^{\frac{2}{x}} = 2$.

La condición en el primer caso implica que $x^x = (\frac{1}{2})^{\frac{1}{2}}$; así, $x=\frac{1}{2}$ o $x=\frac{1}{4}$.

Para convencerse que no hay más $x$'s que satisfacen esta condición basta con notar que la función $x^{2x}$ es estrictamente decreciente en $(0,e^{-1})$ y estrictamente creciente en $(e^{-1},\infty)$.

En el segundo caso se obtiene que $(x^{\frac{1}{x}})^{2} =2$. En consecuencia, $x=2$ o $x=4$. Como en el primer caso, para ver que no hay más $x$'s tales que $x^{\frac{2}{x}}=2$ basta con notar que la función $x^{\frac{1}{2x}}$ es estrictamente creciente en $(0,e)$ y estrictamente decreciente en $(e,\infty)$.

Por lo tanto, las soluciones en $\mathbb{R}$ de la ecuación original son $1/2, 1/4, 2$ y $4$.
por (39,6m puntos)
editado por
¡Bien, Christian!

El cambio de variables, la factorización empleada y el correcto acomodo de las expresiones, unidos al análisis de monotonía de las funciones potenciales-exponenciales respectivas —que puede hacerse con simple "criterio de derivada"— , lleva a las correctas conclusiones que has compartido.

** En efecto, [siempre en ℝ] el Conjunto Solución(x) es: {¼, ½, 2,  4}. **
¿Christian? ...
José: Me dirigía a Chris Chrimson, alguna vez le vi identificado como Christian Rós, en otro lugar...espero no estarme confundiendo.
Licencia Creative Commons
Este obra está bajo una Licencia Creative Commons Atribución-NoComercial-CompartirIgual 2.5 México.

powered by UCIM

...