Foro de preguntas y respuestas de matemáticas, de cualquier nivel. Cuánto más interesantes, divertidas o intrépidas, mejor.
Aviso: Te invitamos a conocer la página de Facebook de la UCIM

Ganas puntos al hacer preguntas, contestarlas y, sobre todo, si tu respuesta es seleccionada como la mejor.
Registrate como usuario para participar en el foro. También puedes utilizar tu identidad de FB Utiliza el botón azul para ingresar (si usas tu identidad de FB y estás logeado en FB, automáticamente te reconoce).

El irracional tiene una página en FB. El Irracional






0 votos
Si tengo que $M$ es un $\mathbb Q$-módulo izquierdo ¿cómo puedo demostrar que esta es la única acción de $\mathbb Q$ sobre $M$ que lo hace un $\mathbb Q$-módulo izquierdo?
por (6,3m puntos) en Básicas
reetiquetada por

1 Respuesta

+2 votos

Esta pregunta ya fue respondida en MathStackExchange.

http://math.stackexchange.com/questions/75313/why-is-there-only-one-way-to-make-m-a-mathbbq-module-if-possible

A continuación doy la respuesta parafraseando algunas partes:

Primero hay que observar que hay una única forma de considerar a un grupo abeliano $(M,+)$ como $\mathbb{Z}$-módulo. Se puede definir para   $n\in \mathbb{Z}$ y $x\in M$, $nx= x+x+\ldots +x$ (n sumandos) y $(-n)x = -(nx)$. La acción debe cumplir que $1x=x$ y $(n+m)x=nx + mx$, de modo que cualquier acción coincide con la que dimos. 

Ahora considera un $\mathbb{Q}$-módulo $M$. El grupo aditivo subyacente $(M,+)$ tiene que ser libre de torsión (es decir, todo elemento no cero tiene orden infinito. Esto es porque si consideramos la ecuación $(m + m + \ldots + m) = nm = 0$, con $n\in \mathbb{N}$, entonces podemos escribir a $m$ como $((1/n)n)m$, lo cual implica que $m=0$. 

Por otra parte, en cualquier grupo abeliano libre de torsión G, se tiene que la ecuación $nx=m$ con $n\in \mathbb{N}$ y $m\in G$ tiene una única solución. Esto se puede ver suponiendo lo contrario: Supongamos que existe otra solución $y$. Entonces tenemos que $nx =ny$ lo cual implica que $n(x-y)=0$ y por el argumento del párrafo anterior, que $x-y=0$. Se sigue que $x=y$ lo cual es una contradicción. 

Entonces en el $\mathbb{Q}$-módulo $M$, el único elemento que satisface la ecuación $nx=m$ es $(1/n)m$, independientemente de cómo esté definida la acción de $\mathbb{Q}$ sobre $M$.  Pero sabemos que la ecuación $nx=m$ sólo depende de $\mathbb{Z}$ sobre $M$ que ya sabemos que es única.

 

por (620 puntos)
editado por
De $x-y=0$ puedes concluir que $x=y$, no necesitas además probar que $y-x=0$. :)
Licencia Creative Commons
Este obra está bajo una Licencia Creative Commons Atribución-NoComercial-CompartirIgual 2.5 México.

powered by UCIM

...