Siento que esta respuesta es tan sólo la "compleción" (o "acompletación") de las de Enrique y Carlos. A cada una de ellas siento que les faltó "un cachito", aunque Enrique llegó más cerca. El punto principal es: tan pronto como logremos hallar una cantidad infinita numerable de abiertos disjuntos, $\{U_n\big|n\in\mathbb N\}$, entonces ya terminamos, pues para cada $A\subseteq\mathbb N$ construimos $V_A=\bigcup_{n\in A}U_n$. La disjuntez de los $U_n$ garantiza que $V_A\neq V_B$ para $A\neq B$, así que ahí tenemos tantos abiertos como subconjuntos de $\mathbb N$, es decir, $\mathfrak c$. Esto es una simple generalización del argumento de Carlos para el caso discreto.
Aquí es donde entra la respuesta de Enrique, pues la usaré para encontrar la cantidad infinita numerable de abiertos disjuntos. Nótese que si uno es cuidadoso al realizar su construcción, se puede hacer que los abiertos sean "decrecientes", es decir, que $U_{00},U_{01}\subseteq U_0$ (simplemente tomando intersecciones), y en general que $U_{\sigma\frown i}\subseteq U_\sigma$ para toda sucesión finita de ceros y unos $\sigma$, y para todo $i\in 2$ (aquí $\sigma\frown i$ denota la concatenación de $\sigma$ con el "bit" $i$). Esto tiene como consecuencia que, siempre que $\sigma$ y $\tau$ sean dos sucesiones finitas de $0$ y $1$ que difieren en al menos un dígito dentro de su dominio común (por ejemplo, $00$ y $0100110$ difieren en el segundo dígito), entonces $U_\sigma\cap U_\tau=\varnothing$. Por lo tanto, podemos hacer $U_n=U_\sigma$, donde $\sigma$ es la sucesión de longitud $n$ que comienza con $n-1$ ceros y termina con un $1$, y la familia $\{U_n\big|n\in\mathbb N\}$ será disjunta por pares.
