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Hay algun resultado del siguiente hecho sobre módulos libres.

Bueno sabemos que si $R$ es PID y $M$ es un $R$-módulo libre (over R) entonces cualquier submódulo es libre.

Ahora si $M$ es un $R$-módulo de tal manera que todos sus submódulos sean libres entonces R tiene alguna estructura en particular.

Si partimos del hecho de que R sea un anillo (con 1) no necesariamente conmutativo.
por (6,3m puntos) en Básicas

1 Respuesta

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Mejor respuesta

Supongo que quieres decir que todos los submódulos propios de $M$ son libres, porque si incluyes a $M$, pues $M$ es libre. :)

Algo fácil que se puede decir es que si $M$ no es cíclico, entonces $M$ es libre de torsión puesto que sus submódulos cíclicos son libres. Mejor aún, como $M$ es el colímite de sus submódulos finitamente generados, si $M$ no es finitamente generado, $M$ es plano.

En general no podemos decir mucho mejor que eso:

Si $R = \mathbb{Z}$, $M$ podría ser $\mathbb{Z}/p$ con $p$ primo. Su único submódulo propio es $0$, que es libre, pero $M$ mismo tiene torsión (y entonces tampoco es plano). Más generalmente, cualquier módulo simple cumple trivialmente que todos sus submódulos propios son libres.

Un ejemplo que podría resultar interesante es $\mathbb{Q}_p$ como módulo sobre los enteros $p$-ádicos, $\mathbb{Z}_p$. Cualquier submódulo propio de $\mathbb{Q}_p$ es isomorfo a $\mathbb{Z}_p$. Para probar esto, recordemos la valuación $p$-ádica: cualquier elemento $x$ de $\mathbb{Q}_p$ se puede escribir de manera única como $x = p^n u$ con $n$ entero y $u$ una unidad en $\mathbb{Z}_p$; el entero $n$ es la valuación de  $x$ y se denota por $v_p(x)$. Los enteros $p$-ádicos se pueden caracterizar como $\mathbb{Z}_p = \{ x \in \mathbb{Q}_p : v_p(x) \ge 0 \}$.

Ahora, sea $M$ un submódulo de $\mathbb{Q}_p$ y consideremos $V := \{ v_p(x) : x \in M \}$. Si $n \in V$, hay una unidad $u$ de $\mathbb{Z}_p$ tal que $p^n u \in M$, y por lo tanto $p^n \mathbb{Z}_p \subseteq M$. Lo anterior prueba que si $V$ no tiene elemento mínimo (si tiene números negativos arbitrariamente grandes en valor absoluto), entonces $M = \mathbb{Q}_p$. En cambio, si $\min V = m$, entonces $M = p^m \mathbb{Z}_p$ y $M$ es libre de rango $1$.

Nótese que $\mathbb{Q}_p$ mismo no es libre: cualesquiera dos elementos, digamos, $x=p^mu$, $y=p^nv$ (con $u$ y $v$ unidades), son linealmente dependientes, puesto que $p^{n+N}v (p^m u) - p^{m+N}u (p^n v) = 0$ y para $N$ suficientemente grande, ambos coeficientes están en $\mathbb{Z}_p$. (Basta $N \ge - \min(m,n)$.) Por otro lado, como $\mathbb{Q}_p = \bigcup_{n \to -\infty} p^n \mathbb{Z}_p$, $\mathbb{Q}_p$ es un colímite directo de libres y como consecuencia es plano.

por (33,1m puntos)
seleccionada por
¿Y porque el que incluya o no al propio $M$.?
A lo que me refiero es que si supones que *todo* submódulo de M es libre, entonces M es libre, y eso ya es bastante "estructura".
A ya, bueno en realidad si incluía al propio $M$. Ahora al menos se que existen respuestas parciales por así decirlo.  Gracias por la respuesta.
Tal vez sería mejor que no aceptes mi respuesta, para que más gente se anime a leer tu pregunta y mejoren las posibilidades de que te den una respuesta más completa. De hecho, tal vez debí haber puesto lo que escribí como una serie de comentarios, en lugar de como una respuesta.
Bueno ya la desmarque haber si aún pueden responder. Lo de $\mathbb{Q}_p$ no lo sabía, eso se ve interesante, ¿alguna referencia de ello?
No sé de ninguna referencia concreta para los de los p-ádicos (ha de ser fácil de hallar pero no lo busqué), pero la demostración no es complicada y ya la agregué a mi respuesta.
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