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Shizuo Kakutani respondió (afirmativamente) en [1] la siguiente pregunta de Hans Rademacher: dado un conjunto convexo compacto $K$ en $\mathbb{R}^{3}$, ¿existe siempre un cubo que circunscribe a $K$?

El ingrediente central en la respuesta de Kakutani a la pregunta es este

Teorema. Sea $f: \mathbb{S}^{2} \to \mathbb{R}$ una función continua. Entonces, existen $P_{1}, P_{2}, P_{3}\in \mathbb{S}^{2}$ mutuamente perpendiculares tales que $f(P_{1})=f(P_{2})=f(P_{3})$.

(Antes de plantear las inquietudes que dieron pie a este post, me permitiré hacer algunas aclaraciones sobre el enunciado del teorema. Como es costumbre, $\mathbb{S}^{2}$ es la $2$-esfera (la cual consta de todos los elementos de $\mathbb{R}^{3}$ de norma euclidiana $1$). Además, se dice que $P, Q \in \mathbb{S}^{2}$ son perpendiculares si el vector que une al origen de $\mathbb{R}^{3}$ con $P$ es perpendicular al vector que une al origen de $\mathbb{R}^{3}$ con $Q$.)

¿Alguien puede decir cuál es la idea de la demostración que da Kakutani de este teorema?  En caso de que la respuesta sea negativa, ¿alguien puede dar una demostración alternativa del teoremilla ese o conoce algún texto donde presenten una? Si alguien no tiene "acceso" al artículo en cuestión y está interesado en echarle un ojo, hágame llegar un mensaje privado.

Notar que el problema avanzado 5 del Rincón de problemas del CIMAT es una consecuencia inmediata de este teorema de Kakutani.

Referencias

[1] S. Kakutani, A proof that there exists a circumscribing cube around any bounded closed convex set in $\mathbb{R}^{3}$. Annals of Mathematics, Vol. 43, #4, Octubre-1942, págs. 739-741.

por (39,6m puntos) en Avanzadas
reetiquetada por
Para aclarar: Lo que se requiere es que las seis caras del cubo toquen al convexo, ¿verdad?
Exactamente... Estaremos en espera de su respuesta, Prof.

1 Respuesta

+4 votos

 

El teorema de Kakutani que mencionas es del estilo del teorema de Borsuk-Ulam y se puede demostrar con una estrategia similar el caso "fácil" de Borsuk-Ulam, el caso $n=2$, o sea, que no hay funciones continuas impares $S^2 \to S^1$. Iba a explicar esa prueba, pero antes de escribirla decidí revisar el artículo de Kakutani y resulta que su prueba es exactamente ésta y si no te satisfizo cuando Kakutani la escribió dudo que te satisfaga si la escribo yo. Tal vez intenté de todos modos, agregando la prueba que digo para Borsuk-Ulam$|_{n=2}$ como motivación:
 
Caso $n=2$ de Borsuk-Ulam. No hay una función  continua $S^2 \to S^1$ tal que $f(-x) = -f(x)$.
 
Demostración. Supongamos que si hay tal función $f$. Entonces $f$ induce una función entre los cocientes de $S^2$ y $S^1$ por la acción de $\{\pm 1\}$. Tenemos que $S^n/\{\pm 1\} \cong \mathbb{RP}^n$, así que obtenemos una función $\hat{f} : \mathbb{RP}^2 \to \mathbb{RP}^1$. Aquí ocurre la simplificación que digo: $\mathbb{RP}^1$ de hecho es simplemente $S^1$ y su grupo fundamental por tanto es $\mathbb{Z}$; mientras que el grupo fundamental de $\mathbb{RP}^2$ es $\mathbb{Z}/2$. Vemos que $\hat{f}$ debe inducir el homomorfismo cero entre los grupos fundamentales, pero esto contradice que la obtuvimos de una función impar $f:S^2 \to S^1$. En efecto, si consideras un meridiano $\gamma$ conectando dos puntos antípodas de $S^2$, su proyección $\hat{\alpha}$ en $\mathbb{RP}^2$ es un lazo y genera el grupo fundamental; podemos calcular la imagen $\hat{f}_\ast( \hat{\alpha})$ aplicando primero $f$ y después proyectando a $\mathbb{RP}^1$: como $f$ es impar, la curva $f \circ \alpha$ conecta dos punto antípodas de $S^1$ y por lo tanto su proyección a $\mathbb{RP}^1$ no es trivial (pues si fuera, su levantamiento a $S^1$ tendría que ser un lazo).
 
Demostración del Teorema de Kakutani. Supongamos que hay una $f : S^2 \to \mathbb{R}$ tal que no hay tres vectores mututamente perpendiculares con la misma imagen. El espacio $\{ (P_1, P_2, P_3) : $ los $P_i$ son tres vectores unitarios mutuamente perependiculares $\}$ es simplemente el grupo ortogonal $O(3)$ ---los $P_i$ son las columnas de una matriz ortogonal. Usando $f$ podemos construir una función $\tilde{f} : O(3) \to \mathbb{R}^3 \setminus \Delta$, donde $\Delta:=\{(x,x,x) : x \in \mathbb{R}\}$, dada por $\tilde{f}(P_1,P_2,P_3) = (f(P_1), f(P_2), f(P_3))$. El análogo de que $f$ era impar en la prueba de Borsuk-Ulam es ahora que $\tilde{f}$ es equivariante con respecto a una acción de $\mathbb{Z}/3$: nótese que $\mathbb{Z}/3$ actúa en $O(3)$ permutando cíclicamente las columnas de una matriz ortogonal, y actúa en $\mathbb{R}^3 \setminus \Delta$ por rotaciones de múltiplos de $120$ grados alrededor de $\Delta$ (la rotación de $120$ grados alrededor de $\Delta$ manda $(x,y,z)$ a $(y,z,x)$).
 
Esta vez, en lugar de ver el efecto sobre grupos fundamentales de la función inducida por $\tilde{f}$ entre los cocientes bajo $\mathbb{Z}/3$, argumentamos directamente con $\tilde{f}$. Observemos que $\mathbb{R}^3 \setminus \Delta$ tiene el mismo tipo de homotopía que $S^1$ (hay una retracción por deformación a cualquier círculo que rodée $\Delta$), así que su grupo fundamental es $\mathbb{Z}$. Ahora ocurre el mismo tipo de simplificación que arriba: $O(3)$ es disconexo, tiene dos componentes conexas homeomorfas a $SO(3) \cong \mathbb{RP}^3$, así que el grupo fundamental de $O(3)$ es $\mathbb{Z}/2$; por lo tanto, $\tilde{f}$ induce el homomorfismo cero entre los grupos fundamentales. Esto otra vez contradice la simetría de $\tilde{f}$: toma en $SO(3)$ una curva $\gamma$ entre $(P_1, P_2, P_3)$ y $(P_2, P_3, P_1)$. Si $\sigma$ es el generador de $\mathbb{Z}/3$, $\alpha:=\sigma^2 \gamma \cdot \sigma \gamma \cdot \gamma$ es un lazo que empieza y termina en $(P_1, P_2, P_3)$ y veremos que su imagen bajo $\tilde{f}$ es un lazo no trivial en $\mathbb{R}^3 \setminus \Delta$. Por la simetría de $\tilde{f}$, esta imagen es $\alpha' := \sigma^2 \gamma' \cdot \sigma \gamma' \cdot \gamma'$ donde $\gamma' = \tilde{f} \circ \gamma$. El punto clave es que $\gamma'$ debe dar algún número de vueltas de la forma $n + 1/3$ donde $n$ es entero y entonces $\alpha'$ da $3n+1 \neq 0$ vueltas.
por (33,1m puntos)
editado por
Gracias por dejar tu respuesta, Omar. Ahora toca estudiarla con calma.
Dime por favor si hay algo en particular que no quede muy claro y que pueda explicar más. Como dije esa prueba es la misma que da Kakutani y yo siento que la idea está razonablemente clara y que no se puede decir mucho más brevemente que dando la prueba completa. Supongo que realmente mi respuesta es "la idea de la prueba es justo lo que dice Kakutani, pero si quieres motivación, es muy parecida a una prueba del caso n=2 del teorema de Borsuk-Ulam".
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