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+1 voto

Se pide el C.S. para 'x', 'y', 'z' variables reales

 

por (21,4m puntos) en Torito

2 Respuestas

+1 voto
 
Mejor respuesta
Primero notemos que en cualquier solución $x, y, z \ge 0$. Tenemos que $(2x-1)^2 \ge 0$, de donde $1+4x^2 \ge 4x$ y $\frac{4x}{1+4x^2} \le 1$. Como $x \ge 0$, podemos multiplicar por $x$ y ver que $y = \frac{4x^2}{1+4x^2} \le x$. (Nótese que la igualdad en esta desigualdad se da si y solo si $x=0$ o $2x-1=0$, o sea, $x=1/2$.) Análogamente $z \le y$ y $x \le z$, de donde vemos que $x=y=z$. Finalmente como se da la igualdad en nuestra desigualdad, $x$ debe ser $0$ o $1/2$. En conclusión, las únicas soluciones son $x=y=z=0$ y $x=y=z=1/2$.
por (33,1m puntos)
seleccionada por
¡Excelente, Omar Antolín!

Hay varios métodos para resolver este sistema, pero el que has descrito es uno elegante y preciso.

** En efecto, trabajando en ℝ, el Conjunto Solución pedido es:

 C.S(x; y; z) = { (0;0;0), (½;½;½) }
0 votos
 
*** MÉTODO III ***
 
El Sistema original es:
 
4x²
________ = y
1 + 4x²
 
4y²
________ = z
1 + 4y² 
 
4z²
________ = x
1 + 4z²
 
 
Consideramos ‘invertir’ cada igualdad: ello solo será posible si: x ≠ 0, y ≠ 0, z ≠ 0.
 
Mas, si x = 0 ∨ y = 0 ∨ z = 0, al reemplazar en las ecuaciones, obtenemos:
 
Si x = 0 → y = 0, z = 0
Si y = 0 → z = 0, x = 0
Si z = 0 → x = 0, y = 0
 
De donde x = y = z = 0 es una (única) terna ‘trivial’ de solución al sistema original.
 
∴ 1ra Terna (x; y; z): (0; 0; 0)
 
 
Ahora, para x ≠ 0, y ≠ 0, z ≠ 0, invirtiendo en las 3 ecuaciones:
 
1 + 4x²
________ = 1/y
4x²
 
1 + 4y²
________ = 1/z
4y²
 
1 + 4z²
________ = 1/x
4z²
 
Distribuyendo cada cociente:
 
_____ + 1 = 1/y
4x²
 
_____ + 1 = 1/z
4y²
 
_____ + 1 = 1/x
4z²
 
Por comodidad de trabajo, hacemos un cambio de variables:
 
1/(2x) = a ➜ 1/x = 2a; 1/(4x²) = a²
1/(2y) = b ➜ 1/y = 2b; 1/(4y²) = b²
1/(2z) = c ➜ 1/z = 2c; 1/(4z²) = c²
 
Luego, haciendo los reemplazos respectivos, resulta:
 
a² + 1 = 2b
b² + 1 = 2c
c² + 1 = 2a
 
Sumando, m. a. m., las 3 ecuaciones del nuevo sistema:
 
a² + b² + c² + 3 = 2b + 2c + 2a
 
 
*** COMPLETANDO CUADRADOS ***
 
(a² – 2a + 1) + (b² – 2b + 1) + (c² – 2c + 1) = 0
 
(a - 1)² + (b - 1)² + (c - 1)² = 0
 
 
RESOLVIENDO EN LOS Números REALES:
 
a = 1 ; b = 1 ; c = 1 (única posibilidad)
 
 
Regresando, ahora, a las variables originales:
 
1/(2x) = 1 ➜ 2x = 1 ➜ x = ½
1/(2y) = 1 ➜ 2y = 1 ➜ y = ½
1/(2z) = 1 ➜ 2z = 1 ➜ z = ½
 
Siendo, entonces, x = y = z = ½ la única terna ‘no-trivial’ de solución al sistema original.
 
∴ Terna 2 (x; y; z): (½; ½; ½)
 
________________________________
 
 
➜ ➜ C.S.('x', 'y', 'z') = { (0 ;0; 0), (½; ½; ½) } .
por (21,4m puntos)
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