Por el teorema de aproximación de Weierstraß existe una sucesión $\{P_{n}(x)\}_{n\in \mathbb{N}}$, con $P_{n}(x) \in \mathbb{R}[x]$ para cada $n \in \mathbb{N}$, tales que $P_{n}(x) \to f(x)$ uniformemente sobre $[0,1]$. Así
$\displaystyle \begin{eqnarray*} \int_{0}^{1} f^{2}(x)\, dx &=& \int_{0}^{1} f(x) \lim_{n\to \infty} P_{n}(x)\, dx\\
&=& \lim_{n \to \infty} \int_{0}^{1} f(x) P_{n}(x)\, dx.\\
\end{eqnarray*}$
Ahora bien, la hipótesis de que $\displaystyle \int_{0}^{1} f(x) x^{k}\, dx = 0$ para cada $k \in \mathbb{Z}^{+}$ implica que para cada $n \in \mathbb{N}$,
$\displaystyle \int_{0}^{1} f(x) P_{n}(x)\, dx = 0.$
Por consiguiente
$\displaystyle \int_{0}^{1} f^{2}(x)\, dx = \lim_{n \to \infty} \int_{0}^{1} f(x) P_{n}(x)\, dx = 0$.
Como $f^{2}$ es continua y no negativa, del hecho que su integral sobre $[0,1]$ sea cero se desprende inmediatamente que $f^{2}(x)= 0$ para cada $x \in [0,1]$ y la prueba termina.