Demostrar que f(x)=0 x en [0,1]

Question

Si f es continua en [0,1] y si

\[
\int_{0}^{1}  \! f(x)*x^{n} \, dx = 0
\]
para n = 0,1,2,3,...

entonces, f(x)=0 en [0,1]

Comments

integral definida de 0 a 1 de f(x)(x^n) es igual a 0 para toda n=0,1,2,3,...

Answer 1

Por el teorema de aproximación de Weierstraß existe una sucesión $\{P_{n}(x)\}_{n\in \mathbb{N}}$, con $P_{n}(x) \in \mathbb{R}[x]$ para cada $n \in \mathbb{N}$, tales que $P_{n}(x) \to f(x)$ uniformemente sobre $[0,1]$. Así

$\displaystyle \begin{eqnarray*} \int_{0}^{1} f^{2}(x)\, dx &=& \int_{0}^{1} f(x) \lim_{n\to \infty} P_{n}(x)\, dx\\

&=& \lim_{n \to \infty} \int_{0}^{1} f(x) P_{n}(x)\, dx.\\

\end{eqnarray*}$

Ahora bien, la hipótesis de que $\displaystyle \int_{0}^{1} f(x) x^{k}\, dx = 0$ para cada $k \in \mathbb{Z}^{+}$ implica que para cada $n \in \mathbb{N}$,

$\displaystyle \int_{0}^{1} f(x) P_{n}(x)\, dx  = 0.$

Por consiguiente

$\displaystyle \int_{0}^{1} f^{2}(x)\, dx = \lim_{n \to \infty} \int_{0}^{1} f(x) P_{n}(x)\, dx = 0$.

Como $f^{2}$ es continua y no negativa, del hecho que su integral sobre $[0,1]$ sea cero se desprende inmediatamente que $f^{2}(x)= 0$ para cada $x \in [0,1]$ y la prueba termina.