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Bueno, hola. Estaba jugando con la proyección estereográfica y parece que construí un campo isomorfo con los complejos, en la esfera (Excluyendo el norte).

https://www.mediafire.com/?dfbn8lliuvl34ek

Sin embargo, las operaciones en la esfera requerían pasar al plano, hacer operaciones complejas allí, y luego volver a la esfera, de lo que resultan operaciones muy feas (Más que el producto de cuaterniones en mi opinión)...entonces pensé en algún modo de definir los elementos de la esfera con dos coordenadas (Dado que la esfera es una variedad de dimensión 2, aunque aún no veo topología).

Un primer intento fue, tomando como coordenadas el ángulo de inclinación con respecto al sur, y el ángulo de inclinación con respecto al plano xy, con lo que los puntos quedan determinados de manera única.

Sin embargo no veo algún modo de ver las operaciones en la esfera en estos términos.
Entonces, una duda sería...¿Cómo podría considerar los elementos de la esfera, con dos coordenadas, de modo que se simplifiquen las operaciones en la misma?

por (710 puntos) en Básicas
La proyeccion estereografica te dan precisamente las coordenadas que buscas (pues asi defines tus operaciones). Coordenadas sobre la esfera no es mas que un difeomorphismo $\psi:\mathbb{R}^2\rightarrow U\subset S^2$ donde $U$ es un subconjunto abierto.
El problema con la proyección estereográfica es que me trae las coordenadas comunes en ℝ³, y la esfera no necesita tantas. El caso es que puedo operar usando esa definición y esas coordenadas, pero quedan unas operaciones bastante feas.

Y me tocará averiguar sobre difeomorfismos.
Coordenadas es precisamente eso que hiciste con la proyeccion estereografica. Cuando trabajas en algunas coordenadas, lo que haces es pasar de tu superficie (en este caso la esfera) a un subconjunto del plano con ayuda de una identificacion (en este caso la proyeccion estereografica), luego haces lo que tengas que hacer en el plano y despues te regresas de nuevo a tu superficie.

Las otras coordenadas que mencionabas son las coordenadas esfericas. Aqui pasa exactamente lo mismo. Pasas de tu superficie (la esfera) a un subconjunto del plano (en este caso $(0,\pi)\times (0,2\pi)$ que son los valores que pueden tomar los dos angulos), haces tus cosas ahi (como calcular las operaciones del campo) y luego regresarte otra vez a la superficie.

Asi que respondiendo tu pregunta original: dada tu construccion, las coordenadas mas naturales son obviamente las dadas por la proyeccion estereografica.
Es decir si $\psi:S^2-\{Norte\}\rightarrow \mathbb{R}^2$ es la proyeccion estereografica, entonces a cada punto $x\in S^2$ de la esfera le estas asignando dos coordenadas $\psi(x)=(\psi_1(x),\psi_2(x))$ de modo que las operaciones son exactamente las de $\mathbb{C}$.
Si entiendo esa parte. Mi propósito era mirar un modo de definirlo todo desde la esfera, sin meterme en el plano.

Y el cambio de coordenadas, era, por ejemplo, viendo que uno puede mirar la multiplicación de complejos usando coordenadas polares.

Es decir, lo que querría era buscar un modo de definir las coordenadas sin usar la proyección estereográfica (Lo que dijiste de las coordenadas esféricas), y definir las operaciones desde ahí.

Lo de pasar al subconjunto del plano para mirar los ángulos y los resultados, es interesante, lo revisaré. Gracias.
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