Hola qué tal. Gracias por comentar.
Bueno la definición que expongo se encuentra prácticamente en cualquier libro de medida no tan viejo como el Halmos. Por ejemplo en "Real Analysis and Probability" de R. M. Dudley.
En efecto, se trata de otra definición de semi-anillo. Por ejemplo, si $X=\{a,b,c\}$ y ${\cal S}=\{\emptyset,\{a\},\{b\},\{c\},X\}$, entonces ${\cal S}$ es un semi-anillo de acuerdo a la definición que expuse, pero no lo es de acuerdo a la definición de Halmos.
No estoy seguro pero me parece que la definición de Halmos ha caído en desuso. El concepto de semi-anillo de subconjuntos aparece con una de las versiones clásicas y más generales del teorema de extensión de una pre-medida, de Caratheodory. Éste afirma que una aplicación $\sigma$-aditiva definida sobre un semi-anillo puede extenderse a una medida definida sobre el $\sigma$-álgebra generado por dicho semi-anillo. Al parecer, en últimos años la definición que yo expuse al principio, se prefiere por sobre la definición de Halmos, pues en realidad ésta es más restrictiva.
Incluso hay otra definición de semi-anillo, no tan común, y que algunos libros reconocen también como demi-anillo o también quasi-semi-anillo. Ésta dice que una clase ${\cal S}$ de subconjuntos de $X$ es un semi-anillo si para todo $A,B\in{\cal S}$, tanto la intersección $A\cap B$ como la diferencia $A\backslash B$, pueden escribirse como uniones finitas disjuntas de elementos de la clase ${\cal B}$. Es menos restrictiva que cualquiera de las definiciones anteriores y de hecho el teorema de extensión de Caratheodory es igualmente válido para esta nueva definición.
Pero esta última definición no me interesa tanto, ni la de Halmos. Más bien creo que debo ser más específico con mi duda:
Vayamos por partes. Primero, un anillo de subconjuntos es una familia de subconjuntos estable para cualquier operación conjuntista de cualquiera número finito de sus elementos. Bien. Pues resulta que si ${\cal S}$ es un semi-anillo (de acuerdo a la definción que expuse), entonces el anillo ${\çal R}$ más pequeño que contiene a ${\cal S}$, coincide con la clase que reúne todas las uniones finitas ajenas de elementos de ${\cal S}$. Por supuesto esta clase también conicide con la clase que reúne todas las uniones finitas de elementos de ${\cal S}$. Lo que es relevante es que todo elemento de ${\cal R}$ puede escribirse como unión ajena finita de elementos de ${\cal S}$.
Segundo. Mi duda es qué pasa si modificamos la definición de semi-anillo, y pedimos que sea estable para intersecciones y que las diferencias sean simplemente uniones finitas (no necesariamente ajenas) de elementos de la clase.
La cuestión es la siguiente:
Si ${\cal S}$ satisface esta nueva definición, entonces el anillo ${\cal R}$ más pequeño que contiene a ${\cal S}$ coincide con la clase que reúne todas las uniones finitas de elementos de ${\cal S}$.
Entonces mi pregunta es: Este anillo coincide también con la clase de todas las uniones finitas disjuntas de elementos de ${\cal S}$???
Creo que ya encontré la respuesta: NO!
A ver si este ejemplo es adecuado (?):
Sobre $[0,1)$, definimos la clase de conjuntos ${\cal A}=\{A_n\}_{n\ge0}$, tal que para cada $n\ge0$,
\begin{align*}
A_{4n\phantom{+1}}&=[0,2/3^{n+1}),\\
A_{4n+1}&=[1/3^{n+1},1/3^{n}),\\
A_{4n+2}&=A_{4n+1}\cap A_{4n}=[1/3^{n+1},2/3^{n+1})\\
A_{4n+3}&=A_{4n+1}\backslash A_{4n}=[2/3^{n+1},1/3^n),
\end{align*}
Note que si $A_n,A_m\in{\cal A}$, entonces $A_n\cap A_m\in{\cal A}$ y $A_n\backslash A_m$ es siempre una uni\'on finita de subconjuntos de ${\cal S}$. Pero $A_0\backslash A_1$ no puede expresarse como uni\'on finita disjunta, de elementos de ${\cal A}$.
