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resolver la siguiente ecuacion con la transformada de laplace

xy" + (1-2x)y' - 2y = 0

por (120 puntos) en Ecs. Diferenciales
Laplace es la ortografía correcta.
¿De pura casualidad no necesitas alguna que otra condición inicial para poder resolver esto?
Error mío, todas las condiciones iniciales se cancelan durante la resolución. ;)

1 Respuesta

+1 voto

Sea $\mathcal L$ el operador "transformada de Laplace", el cual es lineal. Básicamente las propiedades relevantes que utilizaremos son: $\mathcal L(xf(x))=-\frac{d}{ds}\mathcal L(f(x))$, $\mathcal L(f'(x))=s\mathcal L(f(x))-f(0)$ y --consecuencia de la anterior-- $\mathcal L(f''(x))=s^2\mathcal L(f(x))-sf(0)-f'(0)$. Aplicando $\mathcal L$ a ambos lados de la ecuación, obtenemos (denotemos $F(s)=\mathcal L(y)$):

\begin{eqnarray*}

0 & = & \mathcal L(xy'')+\mathcal L(y')-2\mathcal L(xy')-2\mathcal L(y) \\

& = & -\frac{d}{ds}[s^2\mathcal L(y)-sy(0)-y'(0)]+s\mathcal L(y)-y(0)+2\frac{d}{ds}[s\mathcal L(y)-y(0)]-2\mathcal L(y) \\

 & = & -2sF(s)-s^2F'(s)+y(0)+sF(s)-y(0)+2F(s)+2sF'(s)-2F(s) \\

 & = & (2s-s^2)F'(s)-sF(s),
\end{eqnarray*}

Por lo tanto $\frac{1}{2-s}=\frac{F'(s)}{F(s)}=\frac{d}{ds}\ln|F(s)|$, con lo cual

$\ln|F(s)|=\int\frac{ds}{2-s}=-\ln|2-s|+\ln(-C)=\ln\left|\frac{C}{s-2}\right|$.

Debido a la inyectividad del logaritmo, tenemos que

$\mathcal L(y)=F(s)=\frac{C}{s-2}$.

Una ojeada a alguna tablita de transformadas de Laplace (por ejemplo, la de Wikipedia) muestra que $\frac{1}{s+\alpha}$ es la transformada de la función $e^{-\alpha x}\cdot u(x)$, en donde $u(x)$ es la función escalón de Heaviside dada por:

$u(x)=\begin{cases} 0 & \text{si $x<0$} \\ 1 &\text{si $x\geq0$.} \end{cases}$

Por lo tanto, nuestra función $y$ viene dada por

$y=Ce^{2x}u(x)=\begin{cases} 0 & \text{si $x<0$} \\ Ce^{2x} &\text{si $x\geq0$.} \end{cases}$

para alguna constante negativa $C$.

por (15,5m puntos)
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