Proceso de ortonormalizacion de Gram Shmidt, elección de segundo vector?

Question

Hola, me podrían ayudar con el proceso de ortonormalizacion de gram schmidt? 
No entiendo bien esta parte que dice (sacado del libro Algebra lineal 6° edicion Grossman):
Sea u1 = v1/lv1l un vector unitario, (lu1l=1)
Y conociendo que w = u - ((u . v)/ lvl ^2) v es ortogonal a v, que viene siento u - proyección de u sobre v, entonces
(v . u / lu1l ) u1 = (v . u1) u1 para cualquier vector V.
Mi duda es lo ultimo, si lu1l=1 entonces lo anterior queda como
(v . u) u1 = (v . u1) u1
Y esto implicaría que u = u1, o al menos, v.u=v.u1, pero nunca específica de donde viene u, ni la relación entre u y u1. Esto tiene menos sentido, si v.u= 0 (ortogonales)
¿Que me perdí? o_o

 Creo que el problema es con (v . u / lu1l ) u1 = (v . u1) u1 ; Si cambio u por u1, entonces la ecuación tiene sentido, ya que me tendría la proyección de v sobre u1 del lado derecho, ya que lu1l=1, tendría los mismo en el lado derecho también.
Es así o estoy equivocado en algo?

Comments

Miox, no entiendo la parte de tu duda:
"entonces
(v . u / lu1l ) u1 = (v . u1) u1 para cualquier vector V."

Answer 1

Te puedo dar el proceso de ortogonalización de manera más formal de la que escribiste y tal vez eso te ayude a entenderlo.

Sea $\beta=\{u_1,u_2,\dots,u_n\}$ una base ordenada para un espacio con producto interior $V$. Tomando en cuenta que queremos una base para $V$ que también sea un conjunto ortogonal (cualesquiera dos vectores de ésta son ortogonales) construiremos una nueva base $\gamma$. El proceso lo enlistaré a continuación:

1. Tomamos $v_1=u_1$.
2. Si $u_2$ es ortogonal a $v_1$, no hay nada que modificar y hacemos $v_2=u_2$. De lo contrario, usamos Gram-Schmidt para definir $v_2=v_1-\tfrac{\left<v_1,u_2\right>}{\|u_2\|^{2}}u_2$. Luego, obligamos a tener $\{v_1,v_2\}\subseteq\gamma$.
3. Repetir el paso anterior cambiando el subíndice 1 por 2 y 2 por 3.
4. Recursión hasta que termines.

Este es el proceso para obtener una base ortogonal. Una vez que la tengas, solo haces unitario a cada vector en la base para obtener la que deseas.