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Sea $G$ un grupo finito  y un automorfismo $f$ de $G$ para el cual:

$f(g)=g\quad  \mbox{si y sólo si}\quad g=1.$

Supongamos además de que $f\circ f(x)=x$ para todas $x\in G$.

Demuestra que $G$ es abeliano.

por (360 puntos) en Básicas
editado por
Todo indica que en el segundo renglón quisiste decir f(g) = g si y sólo si...
José Hdz. La pregunta está bien planteada.
De hecho no, janmarqz... Si f es un automorfismo de G entonces es claro que f(g)=1 si y sólo si g=1. Es decir, tu hipótesis sería superflua. Lo que quisiste escribir es: f(g) = g si y sólo si g=1; en otras palabras, que el único punto fijo de f es el elemento neutro del grupo G.
in a second thought, you are right

1 Respuesta

+4 votos

Nuestra solución depende de los dos lemas preliminares siguientes:

Lema I. Sean $G$ un grupo y $F: G \to G$ la función definida por $F(x)=x^{-1}$ para cada $x\in G$. Se cumple entonces que $F$ es homomorfismo si y sólo si $G$ es abeliano.

Lema II. Sean $G$ un grupo finito y $F$ un automorfismo de $G$ con la propiedad que $F(x)=x$ si y sólo si $x=e$. Se cumple entonces que para cada $g \in G$ existe $x\in G$ tal que $g= x^{-1}F(x).$

Pasamos ahora a la demostración de la proposición que janmarqz compartió y al final esbozaremos las pruebas de los lemas I y II.

Demostración. En vista del lema I se tiene que es suficiente con demostrar que el automorfismo $f$ manda cada elemento del grupo en su inverso. Sea $x \in G$. El lema II asegura la existencia de $y\in G$ tal que

$x= y^{-1}f(y)$.

De esto se sigue que

$f(x) = f(y^{-1}f(y)) = f(y^{-1})f(f(y)) = (f(y))^{-1}y = x^{-1}$,

y la prueba termina.

--------------------------------

Demostración del lema I. Sean $a,b \in G$. Si $F$ es homomorfismo entonces $(ab)^{-1} = F(ab) = F(a)F(b) = a^{-1}b^{-1}$ y de aquí que $ab=ba$. La otra implicación es (igual de) inmediata.

Demostración del lema II. Basta con demostrar que la aplicación $H: G\to G$ definida por $H(x) = x^{-1}F(x)$ es sobreyectiva. Como $G$ es finito (aquí es donde entra en juego esa hipótesis), establecer la sobreyectividad de esa función es equivalente a establecer su inyectividad. Supongamos que $a,b \in G$ son tales que $H(a) = H(b)$. Se sigue entonces que $a^{-1}F(a) = b^{-1}F(b).$ Esta igualdad es equivalente a $ba^{-1} = F(ba^{-1})$. Puesto que el único punto fijo de $F$ es $e$, de la última igualdad se desprende que $e=ba^{-1}$. En consecuencia $a=b$ y la inyectividad de $H$ se sigue.

por (39,6m puntos)
editado por
José Hdz... ¿sabes de dónde proviene este folklore, más allá del math.SE?
Tanto el problema que pusiste como el lema II son ejercicios (contiguos) en el libro de Herstein (el color café de la editorial Trillas)... Saludos.
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