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Hola, supongamos que, en la imagen, yo sé cómo calcular la medida de los arcos menores, AC, CD, AD, estando A, C, D en la esfera (Cada circunferencia en la imagen es una circunferencia máxima). Quisiera probar que medida(AC)+medida(CD)>medida(AD). Quisiera saber cómo podría empezar.

Puedo usar Álgebra Lineal, geometría elemental, teoremas sobre espacios métricos (Teniendo en cuenta que quiero demostrar la desigualdad triangular para mostrar que la esfera es un espacio métrico),  propiedades de funciones trigonométricas inversas, trigonometría...

Pienso que podría usar la desigualdad triangular usual en las cuerdas de los arcos, pero no llego.

por (710 puntos) en Básicas

2 Respuestas

+1 voto
Sean $\alpha,\beta,\gamma$ las medidas de los arcos $BC,AC,AB$. Sea $\theta$ el angulo formado por los arcos $CB,CA$.

Sea $B(t)$ un punto en el arco $BC$ de modo que el arco $B(t)C$ mide $t$ y sea $f(t)$ la medida del arco $B(t)A$. Observemos que $B(0)=C$ y $B(\alpha)=B$

Entonces

$\cos f(t) = \cos t \cos \beta + \sin t \sin \beta \cos \theta$

de donde podemos calcular que $f'(0)=-\cos\theta$. Esto quiere decir que

$f(t)+(\alpha -t)$

es decreciente.

Para $t=0$ tenemos $f(0)+\alpha-0 = \beta+\alpha$ y para $t=\alpha$ tenemos $f(\alpha)+\alpha-\alpha =\gamma$. Por lo tanto $\alpha+\beta \geq \gamma$.
por (17,3m puntos)
+1 voto

El siguiente argumento funciona si las medidas de los arcos $BC,AC$ son $\leq \pi/2$.

Sea $s$ la circunferencia maxima que contiene el arco $BA$ y sea $C'$ la proyeccion del punto $C$ a esta cirfuncerencia (es decir, $CC'$ es ortogonal a $s$ y la medida $\delta$ del arco $CC'$ es $\leq \pi/2$).

Sean $\alpha,\beta,\gamma,\alpha',\beta'$ las medidas de los arcos $BC,AC,AB,BC',AC'$.

Es claro (pues todos los puntos estan en $s$) que $\alpha'+\beta'\geq \gamma$.

Considerando el triangulo $CC'A$ vemos que 

$$\cos\beta = \cos\beta'\cos\delta + \sin\beta'\sin\delta\cos(\pi/2) =\cos\beta'\cos\delta \leq \cos\beta'$$

de donde concluimos que $\beta' \leq \beta$. Analogamente $\alpha'\leq \alpha$. Por lo tanto vemos que

  $\alpha+\beta\geq \alpha'+\beta'\geq \gamma$

por (17,3m puntos)
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