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+4 votos
Sea $L$ un lenguaje (si se quiere, de primer orden, para fijar ideas) y denotemos por $\mathcal S$ al conjunto de todas las teorías completas satisfacibles de $L$ (equivalentemente, el conjunto de todas las clases de equivalencia de $L$-estructuras bajo equivalencia elemental). Ahora, para cada enunciado $\varphi$ de $L$, denotemos por $[\varphi]$ al conjunto de todos los elementos de $\mathcal S$ que contienen a $\varphi$, es decir,

$[\varphi]=\{T\in\mathcal S\big|\varphi\in T\}.$

(o bien, si pensamos en $\mathcal S$ como clases de equivalencia de $L$-estructuras, entonces la clase de la estructura $M$ pertenece a $[\varphi]$ sii $M\vDash\varphi$, lo cual desde luego no depende del representante).

Demuestre que la familia $\{[\varphi]\big|\varphi\mathrm{\ es\ un\ enunciado\ de\ }L\}$ es base para una topología Hausdorff en $\mathcal S$.
por (15,5m puntos) en Avanzadas
¡Está suave! Si tan solo entendiera la naturaleza de los objetos involucrados...
No es tan complejo, basta agarrar los primeros capítulos de algún libro de lógica (uno que me gusta bastante, es el de Carlos Ivorra, o a un nivel más avanzado está el Chang-Keisler).

1 Respuesta

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Mejor respuesta
Como $[\phi] \cap [\psi] = [\phi \wedge \psi]$, la familia es cerrada bajo intersecciones finitas y por lo tanto es base de una topología. Si $T_1$ y $T_2$ son teorías diferentes, hay una fórmula cierta en una pero no la otra, digamos, $\phi \in T_1 \setminus T_2$. Como $T_2$ es completa, $\neg \phi \in T_2$. Como las teorías en $\mathcal{S}$ son satisfacibles, $[\phi]$ y $[\neg\phi]$ son abiertos ajenos --que contienen a $T_1$ y $T_2$ respectivamente.
por (33,1m puntos)
seleccionada por
Pensé que mi pregunta ya había caído en el olvido para siempre. Me da gusto ver esta respuesta.
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