producto interno

Question

Sea $V$ un espacio vectorial con producto interno $\{v_{1},v_{2},...,v_{n}\}$ una base para $V$ y $c_{1},...c_{n}$  escalares. Entonces existe un único $v \in V$ tal que $\langle v,v_{j} \rangle = c_{j}$.

Comments

Supongo que los escalares son todos distintos entre sí.

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@Enrique: No, no importa.

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¿Qué pasa si todos los escalares fueran iguales a cero? La solución ya no sería única. Por eso mi incomodidad. Saludos.

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@Enrique: Si. En ese caso la única solución es $v=0$. (C.f. mi respuesta abajo)

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¡Ah! ¡Ya! Lo pensé solo para un $j$ en particular pero me imagino que el problema se refiere que la ecuación de arriba se vale para todo $j$ en el rango que tiene sentido. ¡Qué wey! Gracias Carlos.

Answer 1

Sea $\{e_1,\dots,e_n\}$ una base ortonormal y $B$ la matriz de cambio de base $(v_i)\rightarrow (e_i)$.

Sea $v=\sum_i a_ie_i \in V$ un vector. Entonces $\langle v, v_i \rangle = c_i$ para toda $i$ si y solo si

$$B^T\left(\begin{matrix}a_1\\ \vdots\\ a_n\end{matrix}\right) =\left(\begin{matrix}c_1\\ \vdots\\ c_n\end{matrix}\right).$$

De donde vemos facilmente que el problema tiene una solucion y esta es unica.

Answer 2

En algunos espacios vectoriales con producto interno, incluyendo los de dimensión finita, los funcionales lineales se pueden representar por un vector. Específicamente:

 

Teorema. Sea $V$ un espacio vectorial de dimensión finita con producto interno sobre $\Bbb F$ (donde $\Bbb F$ es $\Bbb R$ o $\Bbb C$). Sea $\varphi:V\to \Bbb F$ un funcional lineal. Existe un único vector $v$ tal que 

$$\varphi(u) = \langle u,v\rangle$$ para todo $u\in V$.

 

La prueba de esto es fácil, vea por ejemplo el teorema 6.45 del libro de Axler: Linear Algebra Done Right.

 

En este caso particular basta considerar $\varphi$ dado por 

$$\varphi(x_1 v_1 + \cdots + x_n v_n) = x_1 c_1 + \cdots x_n c_n.$$

Recuerde que para definir una transformación lineal basta con decir como actúa en la base, arriba lo que dice es que $\varphi(v_j) = c_j$ para cada $j\in\{1,\ldots,n\}$.

De aquí es solo usar el teorema.