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sea F una funcion no negativa semicontinua inferiormente, puedo definirla mediante una sucesión de funciones no negativas uniformemente continuas?
por (220 puntos) en Avanzadas

1 Respuesta

0 votos
No entendi muy bien tu pregunta. A que te refieres con definirla. Si quisiste decir aproximarla, entonces la respuesta es si. De hecho si $f$ es una funcion no negativa y semicontinua inferiormente entonces puedes considerar aproximaciones de Moreau-Yosida

$$f_k(x)=\inf_{y\in\mathbb{R}}\{f(y)+k|x-y|\}.$$

Es facil ver que las $f_k$ son lipschitz menores o iguales que $f$ y no negativas tambien. Convergen monotonamente para $f$. Por otro lado si tomas $g_k(x)=x^k$ $x\in[0,1]$ ellas son uniformemente continuas y convergen puntualmente, pero no convergen a una funcion semicontinua inferiormente.
por (2m puntos)
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