Problema de una tarea de antaño

Question

Demuestre que el hecho de que todo intervalo en $\mathbb{R}$ es conexo implica que $\mathbb{R}$ satisface la propiedad de la mínima cota superior (t.c.c. axioma del supremo).

¡Hasta la vista!

Answer 1

Sea $A$ un conjunto no vacío acotado superiormente, digamos que $a_0 \in A$ y que $b$ es mayor que todos los elementos de $A$. Debemos probar que $A$ tiene una mínima cota superior. Sea $a$ cualquier número menor que $a_0$. Definimos $X = \{ t \in [a,b] : \exists c \in A, c>t \}$ y $Y = \{ t \in [a,b] : \forall c \in A, t\ge c \}$. Claramente $X$ y $Y$ son ajenos, no vacíos ($a \in X$, $b \in Y$) y su unión es $[a,b]$. Tenemos que $X$ es abierto en $[a,b]$ pues $X = \bigcup_{c \in A} [a,c)$. Si $Y$ no tuviera elemento mínimo también sería abierto en $[a,b]$, pues dado $y \in Y$, como $y$ no sería mínimo, habría un $z<y$, $z\in Y$ y tendríamos que $y \in (z,b] \subset [a,b]$. Por lo tanto, $Y$ debe tener un elemento mínimo, pues de lo contrario $X$ y $Y$ formarían una disconexión de $[a,b]$.

Comments

¡Omar está de vuelta! (Y)

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No sentí que me hubiera ido, pero supongo que si llevo bastante tiempo sin hacer más que leer las preguntas...