Suponiendo que $r\cos\theta$ es un divisor de $r$:
Es bien sabido que $\cos\theta,{\rm sen }\theta\in[-1,1]$. Sea $r(\cos\theta,{\rm sen } \theta)$ un punto en tal circunferencia. Existen cuatro puntos con entradas enteras que resaltan: $(\pm r,0),(0,\pm r)$. Afirmo que estos son todos: en efecto, si $r=1$, entonces $\cos\theta$ es entero si y sólo si $\theta\in\{0,\pi/2,\pi,\tfrac{3\pi}{2}\}$ lo que corresponde a los cuatro puntos antes descritos. Ahora, supongamos que $r>1$ y sea $p$ un divisor primo de $r$, entonces existe $\theta$ tal que $\cos\theta=\tfrac{1}{p}$ y así, $r\cos\theta\in\mathbb{Z}$; luego, ${\rm sen}\theta=\tfrac{\sqrt{p^2-1}}{p}$ y esto es entero si y sólo si $p^2-1$ es un cuadrado perfecto. Ahora, $(p+1)(p-1)=m^2$ para algún $m$; si $p+1$ y $p-1$ son primos relativos, entonces $p+1=k^2$ y $p-1=n^2$ para algunos $k,n\in\mathbb{N}$. Esto nos dice que $p+1$ y $p-1$ son dos cuadrados que distan en 2 unidades, pero esto es imposible porque la sucesión de cuadrados es $1, 4, 9, \dots$ los cuales se van separando cada vez más y la distancia mínima entre dos cuadrados cualesquiera es 3. Por tanto, $p+1$ y $p-1$ no pueden ser primos relativos. Sea $d$ un divisor común de $p+1$ y $p-1$, entonces $d$ divide a la diferencia de estos, que es igual a 2; así, $d=2$ y es el único divisor común entre estos números. De este modo, existen enteros $t$ y $s$ tales que $p+1=2t^2$ y $p-1=2s^2$; tomando la diferencia de estas dos igualdades vemos que $2=2(t^2-s^2)$ y esto se cumple si y solo si $t,s\in\{0,\pm 1\}$, lo que es absurdo. Por tanto, no existe $p$ tal que $p^2-1$ sea un cuadrado perfecto. En conclusión, no existen más puntos del círculo en $\mathbb{Z}\times\mathbb{Z}$.
