Halla el mínimo valor de la expresión, en las condiciones dadas.

Question

Sean 'x' e 'y' números reales que satisfacen la siguiente igualdad:

(x+5)² + (y-12)² = 14²

➜ Hallar el valor mínimo de x²+y².

Comments

Esta esta buena para un alumno de nivel medio-superior (antes de la universidad) pero creo que lo deberías de etiquetar en "cálculo" o en "básicas", o ¿Cómo piensas calcular el mínimo?

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Efectivamente, es básica..es de álgebra, pero muy sencilla.

Yo he resuelto por 2 métodos:

*Uno, menos algebraico y más geométrico..considero esto, mejor.

*Otro, con el cálculo diferencial.

Answer 1

Va la solución geométrica.

Notemos que las parejas de reales que satisfacen la condición dada trazan en el plano una circunferencia con centro en $(-5,12)$ y radio $14$. Como el punto $(-5,12)$ tiene norma 13, entonces esta circunferencia tiene dentro al origen. Si quieremos determinar el mínimo de $x^2+y^2$ básicamente queremos encontrar el punto en dicha circunferencia más cercano al origen. Pero por simetría, para encontrar el punto más cercano basta trazar la recta del origen al centro y tomar el segmento más corto (no profundizaré, pero debe ser el de coordenada $x$ positiva). Así, la longitud de este segmento es $14-13=1$ (el radio de la circunferencia menos la distancia al $(-5,12)$). De manera similar se prueba que el valor máximo es $14+13=27$.

Comments

Bien, Leo. Gracias por darse el tiempo, y por el aporte para el grupo.
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* Mínimo $ \mathbf{x^{2} + y^{2}}$ = (distancia mínima)² = (14-13)² = 1²  =1
* Máximo $ \mathbf{x^{2} + y^{2}}$ = (distancia máxima)² = (14+13)² = 27² = 729