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La topología cofinita tiene la curiosa propiedad de que si $X$ tiene está topología toda biyección $f:X\to X$ es continua (pues la preimagen de cualquier finito es finita y los cerrados son los finitos). Esto se puede generalizar: si tienes un conjunto $X$ y un cardinal infinito $\alpha$, puedes definir una topología en $X$ declarando como cerrado a todo conjunto que tenga cardinalidad menor que $\alpha$.

Mi pregunta es ¿Es verdad que todo espacio topológico $X$ que cumpla que toda biyección en $X$ es continua tiene una topología de esta forma o tiene la topología trivial/indiscreta? ¿O qué otro ejemplo hay?

Observaciones:

  1. La toplogía discreta entra dentro de este tipo de topologías (es el caso cuando $|X|<\alpha$).
  2. Ya demostré que el único caso que no es $T_0$ es la topología trivial y creo que estoy cerca de demostrar que también es el único caso que no es $T_1$.
  3. Ya demostré que si $C$ es un cerrado propio, entonces cualquier subconjunto de $C$ es cerrado. También que cualquier conjunto $A$ con la misma cardinalidad que $C$ y cuyo complemento tiene la misma cardinalidad que el complemento de $C$ es cerrado.
por (8m puntos) en Preguntas
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Mejor respuesta

Ya le di mil vueltas al asunto, pero creo que ya salió. Supóngase que $X$ tiene una topología no trivial y que toda biyección en $X$ es homeomorfismo. Sin pérdida de generalidad, suponemos que $X$ es infinito (en el caso finito es fácil probar que sólo la topología discreta funciona).

LEMA 1: Si $C$ es un cerrado propio, y $B\subset C$, entonces $B$ es cerrado.
Demostración: Sea $x_0\in X\backslash C$. Para todo $x\in C$ definimos $f_x:X\to X$ como la función que intercambia $x$ con $x_0$ y fija los demás puntos. Entonces $f_x(C)$ es cerrado y $C_x:=C\cap f_x(C)=C\backslash\{x\}$ es cerrado también. Entonces $B=\bigcap_{x\in C\backslash B}C_x$ es cerrado.

LEMA 2: Si $C$ es un cerrado con $|C|<|X|$ y $A\subset X$ es tal que $|A|=|C|$, entonces $A$ es cerrado.
Demostración: Sea $g:C\to A$ una función biyectiva. Como $X$ es infinito, $|X\backslash C|=|X\backslash A|=|X|$, por lo que existe una biyección $h:X\backslash C\to X\backslash A$. Si definimos $f:X\to X$ como $f=g\cup h$ (es decir $f(x)=g(x)$ si $x\in C$ y $f(x)=h(x)$ si $x\notin C$), tenemos una biyección (homeomorfismo) en $X$ tal que $f(C)=A$. Por lo tanto $A$ es cerrado.

LEMA 3: Si existe un cerrado propio $C$ con $|C|=|X|$ entonces la topología en $X$ es discreta.
Demostración: Si $X\backslash C$ tiene un sólo punto el resultado es obvio. En otro caso, sea $x_0\in X\backslash C$. Sea $A=X\backslash C$ (abierto) y sea $B=A\backslash\{x_0\}$. Se tiene que $|B|\leq |X|=|C|$, por lo que existe una biyección $f:X\to X$ tal que $f(B)\subset C$ y $f(x_0)=x_0$. Como $f$ es homeomorfismo, $f(A)$ es abierto y por lo tanto $f(A)\cap A=\{x_0\}$ también lo es. Como hay un punto (singulete) que es abierto y toda biyección es continua, todos los puntos son abiertos.

TEOREMA: Existe un cardinal infinito $\alpha$ tal que los cerrados en $X$ son los conjuntos con cardinalidad menor que $\alpha$.
Demostración: Sin pérdida de generalidad (por lema 3), supongamos que $X$ no tiene cerrados propios con su misma cardinalidad. Sea $\alpha_0$ el supremo de las cardinalidades de los cerrados propios de $X$. Por lemas 1 y 2 todo conjunto con cardinalidad menor que $\alpha_0$ es cerrado. Si existen cerrados con cardinalidad $\alpha_0$ sea $\alpha=\alpha_0^+$. En otro caso sea $\alpha=\alpha_0$. En cualquier caso, todos los cerrados de $X$ tienen cardinalidad menor que $\alpha$. $\alpha$ tiene que ser infinito, pues por lema 1, $X$ es $T_1$ y por lo tanto todos los conjuntos finitos son cerrados.

por (8m puntos)
seleccionada por
Espero que a alguien le interese esto. Si le encuentran algún detalle o error avísenme por favor.
hola  me parece interesante tu pregunta pero tengo una duda como deduces que $B=\bigcap_{x\in C \setminus B } C_{x}$   es cerrado en el lema uno, bueno no se si me equivoco pero creo creo que $C \setminus B$ debe ser finito para que $B$ sea cerrado
La intersección arbitraria de conjuntos cerrados es cerrado. Es la propiedad dúal de que la unión arbitraria de abiertos es un abierto. Los $C_x$ son cerrados porque son la intersección de un cerrado ($C$) con la imágen de un cerrado bajo un homeomorfismo ($f_x(C)$) que también es cerrado.
¿A tí se te ocurrió la pregunta? Tanto la pregunta como la respuesta están muy bonitas. Cuando dices que "en el caso finito es fácil ver...", a mí no me parece tan fácil: de hecho, la única forma que veo es repitiendo una cantidad finita de veces un argumento bastante similar al de tu Lema 1 (de hecho el mismo argumento, pero reemplazando "cerrado" por "abierto").
En el caso finito puedes aplicar directamente el lema 1 para ver que todos los puntos son cerrados. Eso implica que la topología es discreta (el complemento de un punto es la unión finita de cerrados de un sólo punto).

Otra forma quizás más sofisticada de verlo es cuando conoces la correspondencia entre espacios finitos y preordenes. Dices que $x\leq y$ si $y\in\overline{\{x\}}$. Resulta que al hacer esto las funciones continuas son las crecientes. Para que toda biyección sea creciente necesitas que o bien no haya elementos comparables (topología discreta) o $\leq$ sea la relación total (topología trivial).
Sí. La pregunta se me ocurrió un día en el camión y pensé que la solución iba a ser demasiado difícil para mí, pero parece que sí salió al final (no sin algunos intentos fallidos antes). Qué bueno que te gustó.
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