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Si se tiene un conjunto parcialmente ordenado en el que todo subconjunto tiene ínfimo, se tiene también que todo conjunto tiene supremo (el ínfimo del conjunto de cotas superiores). Sin embargo, si se tiene una clase ordenada no cardinable en la que cada subconjunto (i.e. subclase cardinable) tiene ínfimo, no tiene caso hablar del "conjunto de cotas superiores", pued puede que este no sea un conjunto. Así que la pregunta es la siguiente:

En una clase parcialmente ordenada en la que todo subconjunto tiene ínfimo ¿se tiene que todo subconjunto tiene supremo? (si es necesario, consideren sólo subconjuntos no vacíos, y si hace falta también se vale pedir "acotados").
por (8m puntos) en Preguntas

1 Respuesta

+2 votos
 
Mejor respuesta

A mí se me hace que en lo del primer párrafo también debes de pedir "acotados": el conjunto de números naturales $\mathbb N$ es parcialmente ordenado y todo subconjunto tiene un ínfimo (de hecho, un mínimo) pero el subconjunto $\mathbb N$ no tiene supremo alguno. Sin embargo, si especificas "todo conjunto acotado superiormente" entonces ya es cierto.

Ahora, en el caso de las clases propias (que tú llamas "no cardinables"), la cosa no se comporta tan bien a menos que asumas que toda subclase tiene ínfimo (en cuyo caso toda subclase acotada tiene supremo también, por el mismo argumento de siempre). Pero si pides que sean los subconjuntos únicamente (y no las subclases propias) los que tengan ínfimo, entonces Berta puede bailar las más calmadas: considera la clase que consta de poner un conjunto $\mathbb N$ y después agregarle a la derecha una copia de los números ordinales ordenados en reversa.

[Si quieres ser completamente formal, digamos que nuestra clase consta de pares ordenados que o bien son de la forma $(\alpha,0)$ para algún ordinal $\alpha$, o bien de la forma $(n,1)$ para algún $n\in\mathbb N$; donde el orden $\prec$ viene dado por: para cada $m,n\in\mathbb N$ y ordinales $\alpha,\beta$, decimos que $(n,1)\prec(m,1)$ sii $n<m$, $(\alpha,0)\prec(\beta,0)$ sii $\alpha>\beta$, y $(n,1)\prec(\alpha,0)$ sin importar quiénes sean $n$ y $\alpha$.]

En este orden, es fácil ver que cualquier subconjunto tiene ínfimo: si el subconjunto intersecta a $\mathbb N\times\{1\}$ por razones obvias, y si no, entonces corresponde a un conjunto de ordinales, los cuales siempre tienen supremo --en el orden de los ordinales, lo cual corresponde a un ínfimo en el orden que aquí definimos. Sin embargo, el conjunto $\mathbb N\times\{1\}$ no tiene supremo (¡y es acotado y toda la cosa!), pues la única forma de tenerlo sería tener un ínfimo para las cotas superiores, las cuales son exactamente todos los $(\alpha,1)$. Un supremo para $\mathbb N\times\{1\}$ en nuestro orden correspondería a un supremo para la clase de todos los ordinales (en el orden usual), lo cual es absurdo. ¡Burali-Forte!

por (15,5m puntos)
seleccionada por
Y de hecho en tu ejemplo se cumple que todo subconjunto tiene ínfimo (no hace falta pedir acotado por abajo, se tendrá en automático). Además el orden es total.
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