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+1 voto
Tengo una pregunta, principalmente acerca de algunos libros de álgebra abstracta como Pinter, Fraleigh, Jacobbson, y otros como Dummit, Dorronsoro, acerca de los temas productos semidirecto y acción de grupo.

Quisiera saber, ¿Hay alguna razón para que varios libros, por ejemplo el Fraleigh, tengan el tema de Acción de grupo, pero no el de producto semidirecto? ¿Y que otros, por ejemplo, el Dorronsoro, tengan producto semidirecto pero no acción de grupo?

Según me dijo mi maestra de Álgebra abstracta hay una relación entre los conceptos, pero no quizo decir cuál. Dijo que era una relación que hacía que todo (O casi) lo que se pudiera trabajar con un concepto se pudiera trabajar con el otro de algún modo... pero no quizo especificar.
por (710 puntos) en Básicas

1 Respuesta

+3 votos
Un producto semidirecto es básicamente una manera de "pegar" dos grupos, cuando uno actúa en el otro, de modo que podamos pensar esa acción como si fuera la conjugación: si $K$ actúa en $H$ (denotamos la acción por $\varphi:K\times H\longrightarrow H$), entonces quisiéramos "pegar", o "amalgamar", los dos grupos considerando todos los productos formales de la forma $hk$, con $h\in H$ y $k\in K$. La cuestión es cómo multiplicar este tipo de expresiones: ciertamente sabemos cómo multiplicar dos elementos de $H$, y dos elementos de $K$, pero no es claro cómo relacionar elementos de $H$ con elementos de $K$, y la manera como se hace es decretando que conjugar un $h\in H$ por un $k\in K$ resulta en $\varphi(k,h)\in H$. En otras palabras, estamos decretando que $H$ será un subgrupo normal y, para multiplicar dos elementos $hk$ y $h'k'$ el truco es:

$(hk)(h'k')=h(kh'k^{-1})kk'=(h\varphi(k,h))(kk')$.

(La manera "formal" de hacer esto es por medio de parejas ordenadas, y lo que describo arriba es la motivación de que la multiplicación en un producto semidirecto se defina como se define). Recíprocamente, si $G=HK$ donde $H$ es un subgrupo normal de $G$ y $K$ es un subgrupo de $G$ con $H\cap K=\{e\}$, entonces $G$ es isomorfo al producto semidirecto de $H$ y $K$ con la acción de $K$ en $H$ dada por conjugación.

La conclusión de todo este choro es que los productos semidirectos son una forma de "visualizar" cualquier acción dada como si fuera un caso particular de una acción muy particular: la acción por conjugación. Ahora bien, esto funciona cuando un grupo actúa en otro grupo. Cuando un grupo actúa en un conjunto con algún otro tipo de estructura que no sea de grupo (o con ninguna estructura), entonces no me queda del todo claro que esta acción se pueda ver como un producto semidirecto.
por (15,5m puntos)
Me alivia la respuesta, había estado planteando una exposición con respecto al tema y precisamente con lo que encontré terminé exponiendo esta parte del tema (La maestra había pedido algo así para la exposición, pero no es muy social y luego de la exposición no dijo nada más), y me fue bien. Me alegra corroborar que ese tema era correcto.
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