Foro de preguntas y respuestas de matemáticas, de cualquier nivel. Cuánto más interesantes, divertidas o intrépidas, mejor.
Aviso: Te invitamos a conocer la página de Facebook de la UCIM

Ganas puntos al hacer preguntas, contestarlas y, sobre todo, si tu respuesta es seleccionada como la mejor.
Registrate como usuario para participar en el foro. También puedes utilizar tu identidad de FB Utiliza el botón azul para ingresar (si usas tu identidad de FB y estás logeado en FB, automáticamente te reconoce).

El irracional tiene una página en FB. El Irracional






+2 votos
Cómo mostrar que la desigualdad se cumple para $x,y\in\Bbb R$, no se me ocurre algo útil:

$\left\lfloor x\right\rfloor+\left\lfloor y\right\rfloor+\left\lfloor x+y\right\rfloor\leq\left\lfloor 2x\right\rfloor+\left\lfloor 2y\right\rfloor$

Agradezco su ayuda.
por (11,2m puntos) en Básicas
editado por

2 Respuestas

+1 voto
 
Mejor respuesta

Puedes empezar de la siguiente manera:

Existen $\theta_{x}, \theta_{y} \in [0,1)$ tales que

$x = \lfloor x \rfloor + \theta_{x}$

y

$y = \lfloor y \rfloor + \theta_{y}$.

De esto se sigue que

$\lfloor x+y \rfloor = \left \{
\begin{array}{ccc}
\lfloor x \rfloor + \lfloor y \rfloor +1 & \mbox{si}& \theta_{x}+\theta_{y} \geq 1\\ \lfloor x \rfloor + \lfloor y \rfloor      & \mbox{si} & \theta_{x}+\theta_{y} < 1.\\
\end{array}
\right.$

Vamos a demostrar la desigualdad en cuestión atendiendo cada uno de los dos casos anteriores por separado.

1. En el primer caso se cumple necesariamente que $\theta_{x}\geq \frac{1}{2}$ o $\theta_{y} \geq \frac{1}{2}$.

Supongamos que tenemos que $\theta_{x}\geq \frac{1}{2}$ (el análisis es totalmente análogo si se tuviera $\theta_{y}\geq \frac{1}{2}$). Entonces,

Subcaso I. Si $\theta_{y}\geq \frac{1}{2}$ entonces, al tenerse que

$1\leq 2\theta_{x}<2$,

$1\leq 2\theta_{y}<2$,

$2x = 2\lfloor x \rfloor + 2\theta_{x}$

y

$2y = 2\lfloor y \rfloor + 2\theta_{y}$

se sigue que

$\lfloor 2x \rfloor = 2\lfloor x \rfloor + 1$

y

$\lfloor 2y \rfloor = 2\lfloor y \rfloor + 1$

y por consiguiente,

$\begin{eqnarray*} \lfloor 2x \rfloor + \lfloor 2y \rfloor &=& (2\lfloor x \rfloor + 1)+(2\lfloor y \rfloor +1)\\&\geq& 2(\lfloor x \rfloor+\lfloor y \rfloor)+1\\ &=&  \lfloor x \rfloor+\lfloor y \rfloor+\lfloor x+y \rfloor. \end{eqnarray*}$

Subcaso II. Si $\theta_{y}< \frac{1}{2}$ entonces se sigue cumpliendo que

$\lfloor 2x \rfloor = 2\lfloor x \rfloor + 1$

pero ahora

$\lfloor 2y \rfloor = 2\lfloor y \rfloor$

y en consecuencia,

$\begin{eqnarray*} \lfloor 2x \rfloor + \lfloor 2y \rfloor &=& (2\lfloor x \rfloor + 1) + 2\lfloor y \rfloor\\&=& \lfloor x \rfloor+\lfloor y \rfloor+\lfloor x+y \rfloor. \end{eqnarray*}$

2. En el segundo caso se cumple que $\theta_{x} < \frac{1}{2}$ o $\theta_{y} < \frac{1}{2}$. Supongamos que se tiene de hecho que $\theta_{x} < \frac{1}{2}$. Nuevamente, hay dos sub-casos a considerar:

Subcaso I'. Si $\theta_{y} < \frac{1}{2}$ entonces $\lfloor 2x \rfloor = 2\lfloor x \rfloor$ y $\lfloor 2y \rfloor = 2\lfloor y \rfloor$ y por consiguiente

$\begin{eqnarray*} \lfloor 2x \rfloor + \lfloor 2y \rfloor &=& 2(\lfloor x \rfloor + \lfloor y \rfloor)\\ &=& \lfloor x \rfloor+\lfloor y \rfloor+\lfloor x+y \rfloor.\end{eqnarray*}$

Subcaso II'. Si $\theta_{y} \geq \frac{1}{2}$ entonces $\lfloor 2x \rfloor = 2\lfloor x \rfloor$ y $\lfloor 2y \rfloor = 2\lfloor y \rfloor +1 $ y por consiguiente

$\begin{eqnarray*} \lfloor 2x \rfloor + \lfloor 2y \rfloor &=& 2(\lfloor x \rfloor + \lfloor y \rfloor) +1 \\ &\geq& \lfloor x \rfloor+\lfloor y \rfloor+\lfloor x+y \rfloor.\end{eqnarray*}$

por (39,6m puntos)
editado por
+2 votos

José Hdz ya te dió una respuesta completamente correcta, pero quería comentar que su argumento, lleno de casos y subcasos (que para esta desigualdad me parece inevitable) es el tipo de cosa que es mejor representar gráficamente y dejar que el lector verifique. Yo escribiría la prueba así (y es esencialmente la misma prueba que la que dió José Hdz, excepto que en lugar de tener $\theta_x$ y $\theta_y$ reduzco al caso en que $x,y \in [0,1)$):

Es fácil verficar que la veracidad de la desigualdad no cambia si a $x$ y a $y$ le sumamos enteros arbitrarios, así que basta probarla en el rango $x, y \in [0,1)$. En ese rango las funciones de ambos lados de la desigualdad están dadas por la siguiente gráfica como el lector puede verificar:

Está claro que la función de la izquierda es menor o igual en cada punto que la de la derecha.

por (33,1m puntos)
editado por
Licencia Creative Commons
Este obra está bajo una Licencia Creative Commons Atribución-NoComercial-CompartirIgual 2.5 México.

powered by UCIM

...