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Sea $(\Omega , \mathcal{A} )$ espacio medible. Sean $f, g: \Omega \rightarrow \mathbb{R}$ Borel-medibles. Probar que $T: \Omega \rightarrow \mathbb{R}^2$ definida como $T(\omega):=(f(\omega) , g(\omega))$ es $\mathcal{B}(\mathbb{R}^2)$ -medible.
por (1,3m puntos) en Prob. y Estadística
editado por
Sugerencia: $\mathcal{B}(\mathbb{R}^2)$ está generado por los productos $E \times F$ de Borelianos en $\mathbb{R}$.

1 Respuesta

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Lo que quieres demostrar es que $T^{-1}(B)$ es un medible (pertenece a $\mathcal{A}$) para cualquiera que sea el boreliano $B$ en $\mathbb{R}^2.$

Primero, como la preimagen respeta operaciones de conjuntos, basta restringirse al caso en que $B$ pertenezca a un conjunto que genere a los boreliano de $\mathbb{R}^2.$ Explícitamente, si $\mathscr{S}$ es un conjunto de partes de $\mathbb{R}^2$ tal que la $\sigma$-álgebra generada por él es la de los borelianos, entonces que $T^{-1}(B)$ sea medible para cada $B$ en $\mathscr{S}$ es condición suficiente para asegurar la medibilidad de $T$; para mostrar esto solo debes notar que la sigma álgebra generada por tales $T^{-1}(B)$ está contenida en $\mathcal{A}$ por minimalidad.

Toma ahora $\mathscr{S}$ el conjunto de las partes que toman la forma $E \times F$ con $E$ y $F$ abiertos en $\mathbb{R}.$ Resulta que la mínima $\sigma$-álgebra generada por $\mathscr{S}$ es la de los borelianos de $\mathbb{R}^2.$ Aplicando el resultado del párrafo previo, solo debes mostrar que $T^{-1}(E \times F)$ es medible, pero resulta de leer las definiciones que $T^{-1}(E \times F) = f^{-1}(E) \cap g^{-1}(F).$

NOTA: el mismo argumento funciona para una cantidad contable de factores; esto es, cuando $T$ es una sucesión. Así, el mismo argumento muestra que una sucesión es medible si y solo si cada entrada es medible.

Saludos,

por (2,2m puntos)
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