I. Si $p<7$ entonces, después de analizar cada uno de los tres casos posibles, se concluye que efectivamente $(p-1)!+1$ es una potencia de $p$. Demostraremos a continuación—por reducción al absurdo—que si $p$ es un número primo mayor o igual que $7$ entonces $(p-1)!+1$ no es una potencia de $p$: supongamos pues que
$(p-1)! = p^{k}-1$ ... (*)
para algún $k \in \mathbb{N}$. Puesto que $p\geq 7$ entonces $\{2,(p-1)/2, p-1\} \subseteq [1,p-1]$ y $\left|\{2,(p-1)/2, p-1\}\right|=3$. De lo anterior y la igualdad en (*) se desprende que $(p-1)^2 \mid p^{k}-1$: esta relación implica a su vez que $p-1 \mid k$ y como $k$ no puede ser mayor que $p$ (pues en caso de serlo la igualdad en (*) implicaría que $p^{p-1} > p^{k}-1 > p^{p}-1$, lo cual es absurdo) entonces la igualdad en (*) deviene en
$(p-1)! = p^{p-1}-1.$
Diviendo ambos lados de la igualdad anterior entre $p-1$ se llega a que
$(p-2)! = p^{p-2} + p^{p-3} + \ldots +1$
de donde se desprende que
$p^{p-2} > (p-2)! = p^{p-2} + p^{p-3} + \ldots +1 > p^{p-2}$,
lo cual es absurdo.
II. Demostración de que si $p$ es un número primo (positivo) entonces $p \mid (p-2)!-1$:
Del teorema de Wilson se sabe que $(p-1)! \equiv -1 \pmod{p}$: luego, si multiplicamos ambos lados de la congruencia anterior por $-1$ llegamos a que
$(p-2)! \equiv 1 \pmod{p}$
pues $(p-1)(-1) \equiv 1 \pmod{p}$. La congruencia de la línea anterior es claramente una reformulación de lo que se nos pedía demostrar.
III. Procediendo como en I podemos establecer que si $p\geq 7$ y $(p-2)! = p^{k}+1$ para algún $k \in \mathbb{N}$ entonces $(p-1) \mid p^{k}+1.$ Por otro lado, del hecho de que $p\equiv 1 \pmod{p-1}$ se sigue a su vez que $p^{k}+1 \equiv 2 \pmod{p-1}$. Al conjuntar todo lo anterior, se obtiene la absurda conclusión siguiente:
$0\equiv 2 \pmod{p-1}$.
Fin.
