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Hola. Sea $T$ el subgrupo de torsión de un grupo $G$ abeliano (posiblemente infinito). Demostrar que $G/T$ es libre de torsión. Ojala alguien pueda ayudarme. Gracias.
por (4,1m puntos) en Álgebra

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Mejor respuesta

Por reductio ad absurdum. Supongamos que $Tg$ es un elemento de orden finito de $G/T$ y distinto del elemento neutro de $G/T$. Por un lado, esto implica que $g \notin T$. Por otra parte, ello nos permite garantizar la existencia de $k \in \mathbb{N}$ tal que $Te = (Tg)^{k} = Tg^{k}$. De la igualdad entre $Te$ y $Tg^{k}$ se desprende que $g^{k} \in T$. Ergo, $g^{k}$ es un elemento de orden finito de $G$ y, en consecuencia, existe $\ell \in \mathbb{N}$ tal que

$$e = (g^{k})^{\ell} = g^{k \cdot \ell}.$$

De la igualdad anterior se obtiene que  $g$ es un elemento de orden finito de $G$, lo cual entra en contradicción con el hecho de que $g$ NO es elemento de $T$.

por (39,6m puntos)
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