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Hola  todos, este post esta relacionado a funcionales definidos en medidas. Considere el siguente funcional

$$\mathcal{W}[\mu]=-\int_{\mathbb{R}^2}{\log\vert x-y\vert\ d\mu(x)d\mu(y)},$$

donde estamos asumiendo  que $-\log\vert0\vert=+\infty$ y a principio $\mu$ es una medida de radon no negativa en $\mathbb{R}$. Es claro que si $\mu$ posee un átomo, es decir, posee medida positiva en algún conjunto unitario de $\mathbb{R}$, entonces el funcional anterior es infinito, tambien es facil construir medidas absolutamente continuas respecto a Lebesgue donde tal funcional es finito.  La question es: existen medidas singulares respecto de Lebesgue (obviamente sin átomos) donde tal funcional es finito? Yo he tratado de construir un ejemplo usando el conjunto de cantor y una medida de Hausdorff apropiada sobre tal para construir tal ejemplo pero no consigo limitar apropiadamente tal integral, aun así creo que si deben existir tales medidas. Saludos.
cerrada con la nota: ya conosco la respuesta
por (2m puntos) en Conjeturas
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