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Problema. ¿Cuántos triángulos se pueden construir con segmentos de longitudes 1, 2, ..., n?

* Las soluciones que se reciban serán consideradas para ser incluidas en las próximas entregas del artículo Un baúl de problemas olvidado. Pueden leer la más reciente entrega de este trabajo en el siguiente enlace:

http://universo.math.org.mx/2015-2/Baul-III/baul-III.html

por (2,3m puntos) en Problemas
editado por

1 Respuesta

+1 voto
 
Mejor respuesta

Hola a todos:

Encontremos la cantidad de triángulos, de lados enteros, cuyo lado mayor tiene longitud $n$. Si los otros dos lados son $a \le b \le n$, entonces se deberá cumplir que $a + b > n$. Más aún, por la desigualdad del triángulo, esto basta para que haya un triángulo de lados $(a, b, n)$. Como $a\le b$ se deberá cumplir que

 

$n < a + b \le 2b$

 

es decir, $b > \dfrac{n}{2}$.  Para cada valor de $b$ entre $ \dfrac{n}{2}$ y $n$, $a$ podrá tomar cualquier valor en el rango $n - b < a \le b$ (la primera desigualdad para que se cumpla la desigualdad del triángulo). Así que, tendrá $2b - n$ valores posibles. Observemos que cuando $b = n$, esta cantidad de valores es $n$, y conforme el valor de b se reduce en $1$, la cantidad de triángulos lo hace en $2$.

El párrafo anterior indica que la cantidad de parejas $(a, b)$ que hay que contar es $n + n - 2 + ... + 2$ en caso de que n sea par, o bien $n + n -2 + ... + 1$ en caso de que sea impar. Es decir, si $T_n$ denota a la cantidad de triángulos de lados enteros cuyo lado mayor es $n$, entonces si $ n = 2k$,

 

$T_{2k} = 2k + 2(k - 1) + ... + 2 = k(k + 1)$,

 

y si $n = 2k - 1$ entonces

 

$T_{2k -1} = 2k-1 + (2k - 3) + ... + 1 = k^2.$

Ahora, sea $X_n$ la cantidad de triángulos con lados entre $1, ..., n$. Es claro que

$X_n = X_{n-1} + T_n = X_{n - 2} + T_{n -1} + T_n,$

así que podemos introducir una recurrencia para los casos pares y otra para los casos impares (lo hacemos de esta forma porque $T_n$ cambia de acuerdo a si $n$ es par o impar).

Primer caso: n par.

Sea $Y_k = X_{2k} = Y_{2k - 2} + T_{2k-1} + T_{2k}$, entonces

\begin{align*}

Y_k &= Y_{k - 1} + k^2 + k(k + 1)\\

&= Y_{k - 1} + 2k^2 + k.

\end{align*}

De aquí se obtiene, al iterar esta recurrencia que,

$Y_k = Y_1 + 2(k^2 + ... 2^2) + (k + ... + 2).$

Además, $Y_1$ representa la cantidad de triángulos con lados de tamaño $1$ o $2$, que claramente son los dos equiláteros y el de lados $(2, 2, 1)$. Así que $Y_1 = 3$. Por lo tanto,

\begin{align*}

Y_k &= 3 + 2(k^2 + ... + 2^2) + (k + ... + 2)\\

&= 2(k^2 + ...+ 1) + (k + ... + 1)\\

&= \dfrac{k(k+1)(2k+1)}{3} + \dfrac{k(k + 1)}{2}\\

&= \dfrac{k(k + 1)(4k + 5)}{6} 

\end{align*}

Segundo caso: n impar.

Ahora tenemos que si $Y_k = X_{2k - 1} = X_{2k - 3} + T_{2k -2} + T_{2k - 1}$, entonces

\begin{align*}

Y_k &= Y_{k - 1} + (k -1)k + k^2\\

&= Y_{k - 1} + 2k^2 - k.

\end{align*}

Así que, para resolver este caso, sólo hay que repetir la misma cuenta que el primer caso pero cambiando un signo. Es decir,

$Y_k = Y_1 + 2(k^2 + ... 2^2) - (k + ... + 2).$

Y, utilizando que $Y_1 = 1 = 2 - 1$, tenemos que

\begin{align*}

Y_k &=  + 2(k^2 + ... + 2^2) + 2 - (k + ... + 2) - 1\\

&= 2(k^2 + ...+ 1) - (k + ... + 1)\\

&= \dfrac{k(k+1)(2k+1)}{3} - \dfrac{k(k + 1)}{2}\\

&= \dfrac{k(k + 1)(4k - 1)}{6} 

\end{align*}

En conclusión, tenemos que la cantidad de triángulos $X_n$ buscada está dada por

$X_{2k} =  \dfrac{k(k + 1)(4k + 5)}{6},$

y

$X_{2k - 1} =  \dfrac{k(k + 1)(4k - 1)}{6}. $

 

por (5,8m puntos)
seleccionada por
En agunas partes de tu "post" el código LaTeX no fue parseado adecuadamente. Gracias de todas maneras por estar al pendiente de los temas del Baúl de Problemas.
Muy buena solución, Malors.
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