Relación de equivalencia en un anillo

Question

Demostrar que en un anillo conmutativo con unitario, la relación "a es un asociado de b" es una relación de equivalencia.

También me piden encontrar las unidades de J[i].

No entiendo porque no sé a que se refieren con J[i]. Ojala puedan ayudareme. Gracias.

Answer 1

La identidad $a = a \cdot 1_{R}$ te da la reflexividad.

La simetría la obtienes así: si $a$ es asociado de $b$ entonces $a = b \cdot u$ donde $u$ es una unidad de $R$. La definición de unidad te garantiza la existencia de $v \in R$ tal que $u \cdot v = 1_{R}$. En consecuencia, $a \cdot v = b \cdot u \cdot v = b \cdot (u \cdot v) = b \cdot 1_{R} = b$,  lo que indica que $b$ es asociado de $a$.

Para obtener la transitividad, tienes que proceder como en el establecimiento de la simetría, si acaso con mayor cautela.

$J[i]$ es la notación que emplea Herstein en su Álgebra moderna (Ed. Trillas, ISSN 968-24-0137-2) para el anillo de los enteros gaussianos. Antes de abordar cualquier ejercicio relacionado con dicho anillo sería conveniente que le dieras un repaso a la sección 8 del capítulo de teoría de anillos de ese libro.