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En Análisis Matemático, me piden ver si el conjunto $A = \{(x, y) | y = 4x \} $ es abierto o no. Claramente lo es, pues para toda vecindad (circunferencia) centrada en cualquier punto de la recta, tendremos puntos en la vecindad que no partenecen a la recta, pero ¿cómo puedo realizar la demostración?  Gracias.
por (4,1m puntos) en Tareas
recategorizada por
No es abierto, pues, como mencionas, no importa qué tan pequeña tomemos una bola alrededor de cualquier punto de la recta, siempre tendrá un punto dentro que no pertenece a la recta. Recuerda que un conjunto $X$ es abierto (la definición en espacios métricos, claro) si y sólo si podrás "encerrar" a cada punto en $X$ dentro de una bola abierta (centrada en él). Sin embargo, tu conjunto $A$ sí es cerrado, pues dado cualquier punto $p$ fuera de la recta, siempre habrá una bola abierta (centrada en $p$) lo suficientemente pequeña que no intersecte a $A$ (si hay duda de cómo probar ésto, puedo dar una prueba).
Me equivoque al decir que claramente es abierto. Quizás pronto si necesitaré la prueba, aunque aún no porque aun no llegamos a la definición de conjunto cerrado. Muchas gracias por tu ayuda, en verdad. Por cierto, ¿cómo podría escríbir en latex en un comentario? Es que más abajo intente al responderle a José Hdez, pero no salen los códigos.

1 Respuesta

+2 votos
 
Mejor respuesta

Basta con que notes que $(0,0) \in A$ pero que ninguna bola centrada en $(0,0)$ está totalmente contenida en $A$. Esto lo puedes establecer así: para todo $\epsilon > 0$, $(\frac{\epsilon}{2},0) \in \mathrm{B}_{\epsilon} ((0,0))$ pero no se cumple que $(\frac{\epsilon}{2},0) \in A$.

por (39,6m puntos)
seleccionada por
Lo he entendido muy bien. Si lo demuestro que un elemento de $R^2$ está dentro de la vecindad, pero la vecindad no está dentro de la recta, entonces es suficiente para decir no es abierto. Ahora, quisiera demostrarlo para todos los puntos de la recta, ¿pero cómo le haría?

Sea $(x_o, y_o) \in A$. Para todo $\epsilon > 0$, $(xo + \frac{\epsilon}{7}, yo + \frac{\epsilon}{7}) \in B_{\epsilon}(x_o, y_o)$ pero no está en A.

¿Estoy correcto?
Si quieres repetir el argumento para el punto $(x_{0}, y_{0}) \in A$, la bola la debes centrar en $(x_{0}, y_{0})$  y no en el origen...
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