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Hola:

Supongamos que $u:U\rightarrow\mathbb{R}$ es una función continua en un abierto de $\mathbb{R}^n$. Se define su oscilación en $U$ como $O_U(u) = sup (u(x) - u(y))$ sobre todas las parejas $x, y\in U$. Tengo que demostrar que si $U = B_1(0)$, u es positiva y satisface la propiedad del valor medio para integrales, entonces

$O_{B_{\frac{1}{3}}(0)}(u) \le \left(1 - \dfrac{1}{2^2}\right) O_{B_1(0)}(u)$.

No puedo utilizar que $u$ es armónica ni Liouville y esos teoremas de analiticidad/regularidad porque técnicamente aún no los veo.

Ya probé que los puntos con $|x|\le\dfrac{1}{3}$ satisfacen 

$\dfrac{u(0)}{2^2}\le u(x) \le 2^n u(0)$.

Esto es la desigualdad de Harnack, pero es un inciso anterior del ejercicio. Con esto puedes demostrar que si $x, y \in B_{\dfrac{1}{3}}(0)$, entonces

$u(x) - u(0) \le u(x) - \dfrac{u(x)}{2^n} =  \left(1 - \dfrac{1}{2^n}\right)u(x)$,

$u(0) - u(y) \le u(0) - \dfrac{u(0)}{2^n} = u(0) \left(1 - \dfrac{1}{2^n}\right)$.

Con esto tengo que

$u(x) - u(y) = u(x) - u(0) + u(0) - u(y) \le  \left(1 - \dfrac{1}{2^n}\right)(u(x) + u(0))$.

Me encantaría que el lado derecho tuviera un signo menos, pero tiene un signo más... Sin embargo, si pruebo que para $u(z) + u(0)$, donde $u(z)$ es el máximo en $\overline{B_\frac{1}{3}(0)}$ cumple que

$u(z) + u(0) \le u(x) - u(y)$

para algunos $x, y$, entonces habré acabado. Ahora, si esto no es verdado, entonces para todo $x, y$ se tiene que $u(x) - u(y) < u(z) + u(0)$, y fijando $y = 0$ tendríamos que $u(x) < u(z) + 2u(0) < 3u(z)$. Yo se que esto no puede ser, porque me diría que $0\le u(x) \le 3u(z)$ está acotada, y entonces sería constante. ¡Pero no puedo usar eso!

¿Alguien tiene alguna sugerencia de cómo hacer esto? Usando únicamente Harnack, propiedad del valor medio y módulo máximo/mínimo, solamente.  

por (5,8m puntos) en Ecs. Diferenciales
editado por
Estoy diciendo una tontería y nadie me dice nada -.-, que $0\le u(x)\le 3u(z)$ implique que es constante no significa nada malo porque Liouville sólo aplica para funciones en todo $\mathbb{R}^n$, no en la bola.
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