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¿Existe alguna función sobre los reales cóncava, positiva (estrictamente), continuamente diferenciable (en todo número real), decreciente y tal que $\lim_{x\to\infty}f(x)=0$?
por (2,6m puntos) en Básicas

1 Respuesta

+2 votos
 
Mejor respuesta
No existe tal funcion.

Por contradicción, supongamos que existe tal función. Tomemos $a,b\in\mathbb{R}$ con $a<b$ y llamemos $P$ y $Q$ a los puntos $(a,f(a))$ y $(b,f(b))$ respectivamente. Sea $L$ la linea a traves de $P$ y $Q$. Dado que $f$ es decreciente, $L$ tiene pendiente negativa y por lo tanto $L$ cruza el eje $x$ en $c$, $c>b$. Sea $\epsilon>0$ y consideremos el punto $R=(c+\epsilon,f(c+\epsilon))$. La linea $L'$ a traves de $P$ y $R$ es tal que $Q$ queda por debajo de $L'$, contradiciendo la concavidad de $f$.

 

Nota: No es necesario que la función sea diferenciable, basta con tener continuidad.
por (570 puntos)
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