Como demuestro que $\lim_{n \rightarrow \infty} \frac{3n+2}{2-n^2} \neq 1$?

Question

Se me dificulta cuando tengo que demostrar que es diferente. La definición que tengo es la siguiente: La sucesión no tiende a $L$ si existe $\epsilon_1 > 0$ tal que $\forall M \in N$ existe $n_o > M$ tal que $|a_n - L| >= \epsilon_1$ Ojala puedan ayudarme. Gracias.

Answer 1

Viendo cómo se comporta la sucesión para algunos valores de $n,$ podrás notar que los términos tienden a ser cada vez más pequeños, i.e. $\lim\limits_{n\to\infty}\dfrac{3n+2}{2-n^2}=0$ (y como el límite es único entonces éste no puede ser $1$). Para probarlo puedes hacer los siguiente:

Para cada natural $n\geqslant3$ se tiene que
$$
\begin{aligned}
\left|\dfrac{3n+2}{2-n^2}-0\right|&=\dfrac{3n+2}{n^2-2}\\\\&<\dfrac{4n+8}{n^2-4}\\\\&=\dfrac{4(n+2)}{(n+2)(n-2)}\\\\&=\dfrac{4}{n-2}
\end{aligned}
$$
y luego es fácil ver que si $n\to\infty$ entonces $\dfrac{3n+2}{2-n^2}\to0.$