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Sean $X$ y$Y$ espacios topológicos. Decimos que $X$ es $Y$-conexo si para todos $a,b\in X$ existe $f:Y\to X$ continua con $a,b\in f(Y)$.

¿Existe un espacio $X$ que sea $T1$ con más de 2 puntos tal que para todo $Y$ espacio $T1$, $X$ es $Y$-conexo?
por (8m puntos) en Preguntas
Lo primero que se sigue es que $X$ debe ser conexo en el sentido usual. Pero ahí como que me atoro. ¿Podrías dar un ejemplo de una pareja $X$ e $Y$ en el que $X$ sea conexo pero no $Y$-conexo?
Puedes verificar que un espacio es conexos por caminos si y sólo si es $[0,1] $-conexo, por lo que los ejemplos típicos de la línea larga o la curva seno del topólogo  (la cerradura de la gráfica de $\sen (1/x)$) son ejemplos de espacios conexos que no son $[0,1] $-conexos.

Más interesante, si $X$ es un espacio numerable con la topología cofinita y $Y$ es el intervalo $[0,1]$, puedes verificar que ambos son $T1$ y conexos pero ni $X$ es $Y$-conexo ni $Y$ es $X$-conexo  (la segunda afirmación es un poco más difícil).
Descubrí que ya tenía yo anotada la solución de este problema. La versión para espacios Hausdorff sigue abierta. No doy aquí la respuesta para que se diviertan pensando.
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