Foro de preguntas y respuestas de matemáticas, de cualquier nivel. Cuánto más interesantes, divertidas o intrépidas, mejor.
Aviso: Te invitamos a conocer la página de Facebook de la UCIM

Ganas puntos al hacer preguntas, contestarlas y, sobre todo, si tu respuesta es seleccionada como la mejor.
Registrate como usuario para participar en el foro. También puedes utilizar tu identidad de FB Utiliza el botón azul para ingresar (si usas tu identidad de FB y estás logeado en FB, automáticamente te reconoce).

El irracional tiene una página en FB. El Irracional






+1 voto
Buenas tardes, el problema dice así: Suponga $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$, donde $f(x + y) = f(x) + f(y)$ para todo x e y reales y también suponga que $\lim_{x \rightarrow 0} f(x) = L $. Demostrar que $L=0$ y que el límite de la función existe cuando x tiende a cualquier otro valor.

No se me ha ocurrido como empezarlo o cómo utilizar la primera condición. Espero puedan echarme una mano. Gracias de antemano.
por (4,1m puntos) en Análisis real

1 Respuesta

+2 votos
 
Mejor respuesta
Sean $x_n$ e $y_n$ sucesiones que tienden a 0. Entonces, la sucesión $x_n+y_n$ también tiende a 0. Entonces, $L=\lim_{x\to0}f(x)=\lim_{n\to\infty}f(x_n+y_n)=\lim_{n\to\infty}f(x_n)+f(y_n)$

$=\lim_{n\to\infty}f(x_n)+\lim_{n\to\infty} f(y_n)=\lim_{x\to0}f(x)+\lim_{y\to0}f(y)=L+L=2L$, de donde $L=0$.

 

Para ver que el límite de la función existe en cualquier valor de $x$, sea $x_n$ una sucesión que tiende a $x$. Entonces, para todo $n$ tenemos que $f(x)=f(x_n)+f(x-x_n)$. Despejando, $f(x_n)=f(x)-f(x-x_n)$. Del lado derecho, sabemos que $\lim_{n\to\infty}$ existe y es igual a $f(x)$. Entonces, para toda sucesión $x_n$ que tiende a $x$, $\lim_{n\to\infty}f(x_n)=f(x)$, de donde $\lim_{y\to x}f(y)=f(x)$.
por (3,4m puntos)
seleccionada por
Licencia Creative Commons
Este obra está bajo una Licencia Creative Commons Atribución-NoComercial-CompartirIgual 2.5 México.

powered by UCIM

...