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Definiciones:
Un espacio topológico es hiperconexo si cualesquiera dos abiertos no vacíos se intersectan.
Un espacio es ultraconexo si cualesquiera dos cerrados no vacíos se intersectan.

Dados $x,y$ en un espacio topológico $X$, decimos que $x\leq y$ si todo abierto que contenga a $y$ contiene también a $x$. Esto define un preorden (relación transitiva y reflexiva) llamado "preorden de especialización".
Un preorden $\leq$ es dirigido desde arriba si para todos $x,y$ existe $z$ tal que $x\leq z$ y $y\leq z$, y es dirigido desde abajo si para todos $x,y$ existe $z$ tal que $z\leq x$ y $z\leq y$.

Se puede verificar que un espacio es ultraconexo si y sólo si su preorden de especialización es dirigido desde arriba. El análogo para hiperconexos no es cierto en general: Un conjunto infinito con la topología cofinita es hiperconexo pero su preorden de especialización es trivial, por lo que no es dirigido ni desde arriba ni desde abajo.

Lo que busco es un ejemplo de un espacio que sea hiperconexo y ultraconexo pero tal que su preorden de especialización no sea dirigido desde abajo. Si se puede que ningún par de puntos tenga cota inferior, mejor. Si se puede que sea T1, mejor aún.

por (8m puntos) en Preguntas

1 Respuesta

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Mejor respuesta
Encontré una respuesta a mi propia pregunta.

Sea $X$ un conjunto infinito y sea $p\in X$. Definamos los cerrados en $X$ como $X$, el vacío y todos aquellos conjuntos finitos que contienen a $p$. Se puede verificar que ésta es en efecto una topología. Como todos los cerrados no vacíos tienen a $p$, se intersectan, así que $X$ es ultra-conexo. Como $X$ es infinito todos los abiertos propios también se intersectan (son conjuntos cuyo complemento es finito y contiene a $p$), por lo tanto $X$ es hiper-conexo. Se puede verificar que el orden de especialización está dado por $x\leq y$ sii $x=y$ o $y=p$, por lo que claramente es dirigido desde arriba pero no desde abajo (basta tomar dos puntos distintos de $p$).
por (8m puntos)
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