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Demuestre que al menos uno de los números del conjunto $\{\pi e, \pi+e\}$ es trascendente.

Una pregunta bastante sui géneris (y no demasiado difícil). Ojalá que sea de su agrado.

por (39,6m puntos) en Básicas
reetiquetada por

1 Respuesta

+2 votos
 
Mejor respuesta
Supongamos por contradicción que ambos son algebraicos. Notemos que tenemos la simple identidad

$$ e² + \pi e = e(\pi + e)$$

$$ e²  - (\pi + e) e + \pi e = 0$$

es decir, $e$ es solución de una ecuación polinomial a coeficientes algebraicos y por lo tanto es algebraico lo que es una contradicción.

p.s. por la simetria del problema, naturalmente se puede hacer lo mismo usando la trascendencia de $\pi$, pero elejí $e$ puesto que es bastante más fácil demostrar su trascendencia.
por (1,8m puntos)
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